Publication: Classical perturbations for matrices of linear functionals
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Publication date
2017-07
Defense date
2017-09-06
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Abstract
El objetivo de esta Tesis es estudiar trasformaciones espectrales para matrices que tiene como entradas
funcionales lineales. En particular estudiamos las transformaciones de Christoffel, Geronimus
y Geronimus-Uvarov. Con el fin de que esta Tesis sea lo más autocontenida posible, la hemos
dividido en siete capítulos.
• En el Capítulo 1, introducimos algunos conceptos y fijamos la notación que será usada a lo
largo de esta Tesis a la vez que exponemos algunas propiedades básicas acerca de matrices
semi-infinitas, módulos y polinomios matriciales junto con su teoría espectral. Hecho esto,
pasamos a introducir la definición de matriz de funcionales lineales (y su forma sesquilineal
asociada) también como el concepto de bi-ortogonalidad.
• En el Capítulo 2 resumimos algunos resultados relativos a formas bilineales para las cuales
el operador multiplicación por un polinomio es simétrico y su conexión con las relaciones de
recurrencia de orden superior. Con esto en mente, pasamos a explicar cuidadosamente
el resultado principal de concerniente a la relación existente entre una sucesión de
polinomios satisfaciendo una relación de recurrencia de orden superior y una sucesión de
polinomios matriciales que son ortogonales respecto a una medida matricial. Para concluir,
mostramos algunos ejemplos de gran interés en la literatura.
• El Capítulo 3 está dividido en dos partes. La primera parte se basada en los trabajos de A.
J. Durán, A. J. Durán y W. Van Assche, y M. Derevyagin and F. Marcellán
siendo este último el referente para esta primera parte del capítulo. Aquí, damos algunos
resultados relacionados con la transformación espectral de Geronimus en el contexto de
funcionales lineales y con esto en mente, motivamos la definición de este tipo de transformaciones
para las formas bilineales simétricas B( . ; . ) definidas en términos de una medida
de probabilidad con la propiedad de que el operador multiplicación por un cierto polinomio
h(x) es simétrico para la forma bilineal, esto es B(h f ;g) = B( f ;gh) para todo f ;g 2 R[x].
Acto seguido, introducimos la noción de transformación de Geronimus múltiple y generalizamos
los resultados dados en, encontrando, por ejemplo, que los productos internos
tipo Sobolev discretos obtenidos al aplicarle un transformación de Geronimus múltiple a
una forma bilineal nos lleva a una transformación de Geronimus matricial. Estos resultados
han sido publicados en.
Motivados por el resultado anterior, en la segunda parte de este capítulo, estudiamos la
transformación de Geronimus (hermitica) pero ahora, sobre una matriz de medidas definida
positiva, es decir, estamos interesados en el análisis de formas sesquilineales ( . ; . )W defindas
mediante
{P(x)W(x);Q(x)W(x)}W = ∫ P(x)dMQ†(x);
donde M es una matriz de medidas definida positiva y W(x) es un polinomio matricial de
grado fijo pero arbitrario. Aquí, encontramos condiciones para la existencia de la sucesión
de polinomios ortogonales respecto a ( . ; . )W así como la fórmula de conexión entre los
polinomios ortogonales originales y perturbados. Los resultados de este capítulo han sido
publicados en.
• El Capítulo 4 se dedica a la extensión de la fórmula de Christoffel para polinomios biortogonales
matriciales. Más precisamente, dada una matriz de funcionales lineales u y
W(x) un polinomio matricial con coeficiente principal no-singular, nosotros estudiamos la
siguiente transformación matricial û =W(x)u y la relación entre sus familias de polinomios
bi-ortogonales. El resultado principal de este capítulo es precisamente el Teorema 4.11, que
presenta las fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales
originales y perturbados. Para este propósito usamos toda la riqueza de la teoría
espectral disponible para polinomios matriciales, en particular las cadenas de Jordan y los
"roots polynomials" a izquierda y derecha que serán extremadamente útiles. Finalmente,
veremos que estas transformaciones de Christoffel se pueden extender a la teoría
de sistemas integrables. Los resultados de este capítulo han sido publicados en.
• El Capítulo 5 estudia la extensión de la transformación de Geronimus para matrices de
funcionales lineales soportados en la recta real, es decir, multiplicaremos una matriz de funcionales
lineales por un polinomio matricial WG(x) y le adicionaremos una suma de masas
adecuadas (que dependen de los "roots polynomials" a izquierda y derecha). Aquí, desarrollamos
dos diferentes métodos, el espectral y no espectral con el fin de obtener fórmulas
de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales asociados al funcional
original y el perturbado.
• En el Capítulo 6 se desarrolla la extensión de las transformación de Geronimus-Uvarov
para matrices de funcionales lineales soportados sobre la recta real. Este tipo de transformaciones
pueden considerarse como una composición de una transformación de Geronimus y,
acto seguido, de una transformación de Christoffel. En términos de matrices de funcionales
esto se escribe como u→uˇ→û, donde uˇWG(x) = u y û = WC(x)uˇ; con WC(x) y WG(x)
polinomios matriciales. Como en el capítulo 5, usando el método espectral y no-espectral,
obtenemos fórmulas de conexión entre los polinomios bi-ortogonales matriciales originales
y los perturbados. En el método espectral encontramos una representación para los polinomios
bi-ortogonales matriciales perturbados en términos de la sucesiones de polinomios
bi-ortogonales originales y las funciones de segunda especie (ver (1.9)). Aquí asumimos que
los coeficientes principals de los polinomiosWC(x) yWG(x) son matrices no-singulares. En
el método no-espectral damos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales
perturbados sin asumir ninguna hipótesis sobre el coeficiente principal del polinomio
WG(x). Finalmente, como una aplicación, estudiamos la transformación de Uvarov matricial,
que consiste en adicionarle al funcional original una suma de masas. Los resultados
del capítulo 5 y 6 han sido publicados en.
• Finalmente, en el Capítulo 7 damos un resumen de los principales resultados de esta tesis,
así como una lista de problemas abiertos.
Description
Mención Internacional en el título de doctor
Keywords
Perturbations of lineal functionals, Geronimus transformation, Orthogonal polynomials