Resumen de Asymptotic techniques in the analysis of invariant manifolds of dynamical systems
En esta memoria resolvemos algunos problemas que conciernen a la estructura de las variedades invariantes de campos vectoriales y espinoriales. Nuestras estrategias se basan en las propiedades asintóticas de secuencias de soluciones de ciertas EDPs.
En la primera parte de la tesis, estudiamos la topología de las variedades invariantes suaves de campos vectoriales y espinoriales que satisfacen una EDP en ciertas variedades compactas. Los campos vectoriales son soluciones estacionarias de la ecuación de Euler, mientras que los campos espinoriales son autofunciones del operador de Dirac. El problema principal es comprender cuán intrincadas pueden llegar a ser las variedades invariantes de estos campos, al tiempo que se respetan las restricciones analíticas impuestas por la EDP.
Presentamos una serie de técnicas que permiten demostrar que hay soluciones con variedades invariantes tan complicadas como se desee (por ejemplo, fluidos ideales estacionarios con torbellinos anudados); y que estas soluciones no son raras, siempre y cuando uno busque estas estructuras complicadas a altas energías y escalas muy pequeñas.
En la segunda parte de este documento estudiamos un nuevo marco conceptual muy prometedor para el estudio de variedades invariantes de campos vectoriales exactos en dimensi\'on tres, descubierto por C. Taubes. Cuando la helicidad de un campo exacto es distinta de cero, se pueden obtener nuevas medidas invariantes del campo como l\'imites de secuencias de soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten (perturbadas de manera adecuada). Revisamos el marco conceptual de Taubes, y presentamos un nuevo resultado sobre los l\'imites de secuencias de soluciones a la ecuaci\'on del v\'ortice en dimensi\'on dos (que son un modelo local de las ecuaciones de Seiberg-Witten).
El \'ultimo cap’tulo de este documento resuelve una conjetura de V. Arnold y B. Khesin a prop\'osito de la helicidad. Demostramos que todo funcional integral en el espacio de campos exactos de clase $C^1$, invariante ante la acci\'on de difeomorfismos que preservan el volumen, tiene que ser una funci\'on de la helicidad.
