Resumen de Variedades de Prym de curvas bielípticas
LAS VARIEDADES DE PRYM FORMAN UNA CLASE DE VARIEDADES ABELIANAS PRINCIPALMENTE POLARIZADAS MAS GENERAL QUE LAS JACOBIANAS, SE DEFINEN ASOCIANDO A UN MORFISMO NO RAMIFICADO DE GRADO 2 ENTRE CURVAS ALGEBRAICAS IRREDUCIBLES Y LISAS LA COMPONENTE NEUTRA DEL NUCLEO DE LA APLICACION NORMA INDUCIDA ENTRE LAS RESPECTIVAS JACOBIANAS. LLAMAMOS APLICACION DE PRYM A LA ASIGNACION CORRESPONDIENTE. ANALOGAMENTE AL CASO DE LAS JACOBIANAS EL PROBLEMA DE TORELLI CUESTIONA SI LA VARIEDAD DE PRYM DETERMINA EL RECUBRIMIENTO, ES DECIR SI LA APLICACION DE PRYM ES INYECTIVA. ES CONOCIDO QUE PARA UN RECUBRIMIENTO GENERAL EN EL QUE LA CURVA IMAGEN TIENE GENERO MAYOR O IGUAL A 7 LA RESPUESTA ES AFIRMATIVA. POR OTRO LADO, UNA CONSTRUCCION DEBIDA A DONAGI Y LLAMADA CONSTRUCCION TETRAGONAL PROPORCIONA EJEMPLOS DE ELEMENTOS DIFERENTES CON LA MISMA VARIEDAD DE PRYM ASOCIADA Y GENERO ARBITRARIO. ES DECIR, LA APLICACION DE PRYM NO ES INYECTIVA EN NINGUN CASO. LA CONJETURA TETRAGONAL AFIRMA QUE ESTOS SON LOS UNICOS EJEMPLOS DE NO INYECTIVIDAD.
EN ESTA TESIS SE ESTUDIA LA FIBRA DE LA APLICACION DE PRYM PARA UN RECUBRIMIENTO DOBLE NO RAMIFICADO CONVEXO DE UNA CURVA BIELIPTICA GENERAL (UNA CURVA BIELIPTICA ES AQUELLA QUE ADMITE UN MORFISMO DE GRADO 2 SOBRE UNA CURVA ELIPTICA). SE DEMUESTRA QUE EN ESTE CONTEXTO EXISTE UNA CONSTRUCCION DIFERENTE DE LA TETRAGONAL QUE TAMBIEN PROPORCIONA EJEMPLOS DE NO INYECTIVIDAD. A CONTINUACION SE PRUEBA QUE AMBAS CONSTRUCCIONES (LA TETRAGONAL Y LA OBTENIDA) EXPLICAN EN SU TOTALIDAD LA FIBRA QUE SE DESEA ESTUDIAR. EN PARTICULAR, SE OBTIENE UN CONTRAEJEMPLO A LA CONJETURA TETRAGONAL Y SE PRUEBA QUE ES EL UNICO CONTRAEJEMPLO EN EL CONTEXTO BIELIPTICO GENERAL.
