Enumeración y anchura de politopos reticulares por su número de puntos reticulares

• Autores: Mónica Blanco Gómez
• Directores de la Tesis: Francisco Santos (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Cantabria ( España ) en 2017
• Idioma: español
• Número de páginas: 194
• Títulos paralelos:
  • Enumeration and width of lattice polytopes by their number of lattice points
• Tribunal Calificador de la Tesis: Julian Pfeifle (presid.) , Luis Felipe Tabera Alonso (secret.) , Benjamin Nill (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: UCrea
• Resumen
  • español

    En esta tesis se estudia la enumeración de politopos reticulares d-dimensionales con n puntos reticulares, para d y n > d fijados.

    ANTECEDENTES: En dimensión d = 1, 2, sólo existe un número finito de politopos reticulares d-dimensionales con n puntos reticulares, para cada n > d (fórmula de Pick, para d = 2). Existen algoritmos sencillos de enumeración.

    En dimensión d = 3 existen, para cada n > 3, infinitos politopos reticulares 3-dimensionales con n puntos reticulares (para n = 4, Reeve, 1964), pero sólo un número finito de ellos tiene anchura reticular mayor que 1 (Blanco-Santos, 2014). Se conoce la clasificación completa para n = 4 (White, 1968), 5, 6 (Blanco-Santos, 2014).

    Para d ≥ 3, el número de politopos reticulares d-dimensionales con n puntos reticulares es infinito para cada n > d.

    RESULTADOS: En este trabajo abordamos dos problemas independientes:

    - Demostramos que en cada dimensión d existe una constante w(d) tal que: para cada n > d existe sólo un número finito de politopos reticulares d-dimensionales con n puntos reticulares y anchura reticular estrictamente mayor que w(d).

    Los valores de esta constante hasta dimensión 3 son: w(1) = w(2) = 0, w(3) = 1. En esta tesis demostramos que w(4) = 2 y que w(5) ≥ 4.

    Estos resultados se obtienen a través del estudio de levantamientos de politopos reticulares (d-1)-dimensionales, y de qué condiciones ha de cumplir uno de estos politopos para tener infinitos levantamientos con un número fijo de puntos reticulares.

    Demostramos que w(d) es igual a la anchura reticular máxima de un politopo reticular hueco (d-1)-dimensional con infinitos levantamientos de un número fijo de puntos reticulares.

    Para d = 4 hemos utilizado la clasificación de politopos reticulares huecos 3-dimensionales (Averkov-Wagner-Weismantel, 2011; Averkov, Krümpelmann-Weltge, 2015).

    - En dimensión 3 elaboramos un algoritmo que calcula la lista (finita) de politopos reticulares 3-dimensionales con n puntos reticulares y de anchura reticular estrictamente mayor que 1, a partir de la lista (finita) de los que tienen n-1 puntos reticulares.

    Este algoritmo consiste en lo siguiente: una gran parte de los politopos reticulares 3-dimensionales con n puntos reticulares y anchura mayor que 1 se puede obtener como una “unión” de dos subpolitopos de anchura mayor que 1 y con n-1 puntos reticulares. Sólo existe un número finito de estos últimos, y sólo existe un número finito de maneras de “unirlos”.

    El resto de politopos, los que no se pueden obtener de esta manera, tienen unas características muy restrictivas que, mediante resultados teóricos y análisis numérico, permiten su completa enumeración en función de ciertos parámetros, entre ellos el número n de puntos reticulares.

    Se adjuntan códigos que implementan dicho algoritmo en MATLAB, y con los que se han calculado las listas de dichos politopos con hasta 11 puntos reticulares.

  • English

    We study the enumeration of d-dimensional lattice polytopes with n lattice points, for fixed d and n>d.

    - We prove that in each dimension d there is a constant w(d) such that: for each n>d there exist only finitely many d-dimensional lattice polytopes with n lattice points and lattice width strictly larger than w(d). We show that w(4)=2.

    - In dimension 3 we develop an algorithm that enumerates the (finite) list of 3-dimensional lattice polytopes with n lattice points and lattice width strictly larger than 1, from the (finite) list of those with n-1 lattice points.

    We include codes that implement the algorithm in MATLAB, with which we have computed the lists of the polytopes with up to 11 lattice points.