Resumen de Desigualdades de hardy, control y aproximaciones numericas para edps singulares
En esta Tesis se estudian desigualdades ¿optimas de Hardy para operadores de Schr¿odinger con singularidades cuadr¿aticas y se describe su contribuci¿on al estudio de las propiedades cualitativas como la regularidad, el control y los aspectos num¿ericos de las ecuaciones en derivadas parciales singulares.
En las desigualdades de Hardy en consideraci¿on desarrollamos resultados ¿optimos para varios tipos de potenciales con singularidades localizadas en un n¿umero finito o infinito de polos singulares. Se analizan singularidades situadas en el interior o en la frontera de dominios tanto regulares como no-regulares (por ejemplo, dominios c¿onicos). En t¿erminos generales, desigualdades mejoradas se producen cuando se trata de singularidades localizadas en la frontera en vez del interior. Nuestras demostraciones se basan en transformaciones convenientes o en cambios de variables adaptados a la geometr¿¿a del dominio y a la localizaci¿on de los polos. Tambi¿en aplicamos la descomposici¿on en arm¿onicos esf¿ericos para mostrar resultados ¿optimos en dominios regulares. Para dominios c¿onicos, mostramos l¿¿mites inferiores de las correspondientes constantes ¿optimas que mejoran algunos de los resultados existentes en la literatura. Las pruebas de los ¿ultimos resultados requieren propiedades finas de las funciones de Bessel.
Para el operador de Schr¿odinger A¿ := ¿¿¿¿¿=jxj2, > 0, en primer lugar verificamos la validez de una identidad de tipo Pohozaev cuando la singularidad se coloca en la frontera de un dominio regular. A continuaci¿on, aplicamos nuestra identidad de Pohozaev para ecuaciones el¿¿pticas semi-lineales, y tambi¿en para desarollar el m¿etodo de multiplicadores que corresponde a la controlabilidad exacta para las ecuaciones de ondas y Schr¿odinger singulares.
Para la ecuaci¿on del calor asociada al operador A¿, cuya singularidad se encuentra en la frontera de un dominio regular, analizamos el problema de controlabilidad con un control interno. Este problema tambi¿en ha sido estudiado en el pasado en el caso de una singularidad interna. En nuestro an¿alisis se aplican estimaciones de Carleman con una elecci¿on de los pesos distinta de los que se utilizaron en los trabajos previos en el caso de la singularidad interna.
Para ambas ecuaciones anteriores (de ondas y de calor) involucrando el operador A¿, las propiedades de controlabilidad est¿an muy relacionadas a la constante ¿optima de Hardy con una singularidad en la frontera, (N) = N2=4, donde N > 1 denota la dimensi¿on del dominio. En t¿erminos generales, nuestro trabajo complementa y extiende al nuevo rango de par¿ametros N2=4, resultados previos v¿alidos para una singularidad interna en el rango ¿ := (N ¿¿ 2)2=4. En este ¿ultimo caso, es bien conocido que la constante ¿optima de Hardy es (N ¿¿ 2)2=4.
Para el problema el¿¿ptico correspondiente a A¿ con condiciones de frontera de Dirichlet, en un dominio ¿ RN que contiene el origen, ya sea en el interior o en el borde, se muestra la falta de regularidad el¿¿ptica est¿andar de las soluciones. Para el problema unidimensional con datos en L2(¿), la soluci¿on pertenece a H1+s(¿) para cualquier valor s < s() < 1 , donde s() es una constante que converge a cero cuando tiende a la constante cr¿¿tica de Hardy.
Se obtienen resultados similares en el caso multidimensional en la clase de soluciones radiales mediante una reducci¿on al problema unidimensional. Para probar esto, aplicamos transformaciones logar¿¿tmicas y el m¿etodo de la variaci¿on de las constantes para determinar f¿ormulas expl¿¿citas para las soluciones. De manera m¿as precisa probamos resultados de regularidad en espacios de Sobolev fraccionarios. Por otra parte, para soluciones no-radiales mostramos un comportamiento asint¿otico cerca del origen de sus componentes radiales. Esto se hace a trav¿es de un an¿alisis espectral y propiedades finas de las funciones de Bessel.
En el contexto num¿erico, analizamos el funcionamiento de los m¿etodos de elementos finitos (FEM) usando elementes lineales a trozos P1, para el problema el¿¿ptico asociado a A¿.
Al analizar las tasas de convergencia para el FEM est¿andar con mallados uniformes, se observa que, debido a la presencia de la singularidad, la regularidad el¿¿ptica est¿andar falla y el FEM cl¿asico ofrece tasas de convergencia m¿as d¿ebiles que para el Laplaciano cl¿asico (que corresponde a = 0). En t¿erminos generales, cuanto menos regular es la soluci¿on, menos velocidad de convergencia se tiene.
Para compensar la falta de regularidad del problema, abordamos la cuesti¿on de construir aproximaciones FEM usando mallados heterog¿eneos adaptados a la singularidad. El objetivo consiste en obtener un error prescrito en la norma de la energ¿¿a utilizando un n¿umero m¿¿nimo de iteraciones. Para este, utilizamos el denominado Adaptive FEM (AFEM), que es una extensi¿on de la cl¿asica FEM y probabos que este m¿etodo mejora las tasas de convergencia mediante el uso de mallas no uniformes que est¿an adaptados al potencial singular. Para el problema en una dimensi¿on, se utilizan estimaciones a priori para mostrar las tasas ¿optimas de convergencia. Para el problema multidimensional, utilizamos para construir un algoritmo adaptativo y mostramos algunos experimentos num¿ericos basados en dicho algoritmo. Identificamos algunas mallas patol¿ogicas entorno a la singularidad.
