Resumen de Hilbert functions: combinatorial and homological aspects

Cristina Blancafort Andreu

• Sea R un álgebra standard a coeficientes en un anillo Artiniano, y sea M un R-módulo graduado finitamente generado, En la memoria se estudia la función de Hilbert de M, H-M, dada en cada entero n por la longitud de la pieza de grado n de M. Esta función viene dada para n<<0 por un polinomio h-M, el polinomio de Hilbert de M.

  En primer lugar se estudia el caso local, es decir, M es el anillo graduado asociado a una filtración I- buena mientras que R es el correspondiente graduado asociado al ideal. En esta situación se determina una relación entre la diferencia entre los valores tomados por la función y el polinomio de Hilbert-Samuel, y los módulos de cohomologia local del álgebra de Rees extendida asociada a la filtración. Previamente ha sido necesario, por tanto, un estudio de las propiedades cohomológicas de dichas álgebras.

  En segundo lugar se estudia el caso M=R. En esta situación se caracterizan las funciones y los polinomios de Hilbert, bajo la hipótesis de que el anillo base contenga un cuerpo. Se dan algoritmos que permiten hacer efectivos los teoremas de caracterización.