Resumen de Métodos algebraicos en ecuaciones diferenciales de primer orden en el campo complejo
Fuensanta Aroca Bisquert
El objetivo de la memoria en estudiar métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y grado arbitrario, Se utilizan dos métodos para el estudio de la ecuación diferencial f(x,y,y¿)=0:
1. Considerar la ecuación f(s,y,y¿)=0 como la superficie X de ecuación f(x,y,z)=0 junto con la forma diferencial dy-zdx, y de esta forma resolver la ecuación diferencial a partir de parametrizaciones de las superficie X. El capitulo 4 esta dedicados a la descripción de un metodo explicito,utilizando poliedros de Newton, para la obtención de las parametrizaciones. Estas parametrizaciones se dan en términos de sieres de potencias formales con exponantes en conos, clarificando y obteniendo nuevos resultados con respecto al trabajo de McDonald. En los tres primeros capítulos se relacionan las series formales con exponentes en conos con las transformaciones cuadráticas, dando así contenido geométrico a dichas series. Se estudia la convergencia de las soluciones, analizando mediante la prueba de un lema de Abel para estas series, la estructura de los conjuntos de Reinhardt de convergencia de las series con exponentes en conos. Mediante la clasificación de los recubrimientos del toro se prueba que esencialmente dichos dominios son las cuñas descritas por Zariski mediante las transformaciones cuadráticas.
En el capítulo 5 se generalizan las técnicas desarrolladas anteriormente para la obtención de soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, lineales y no lineales. Este método cubre anto el caso singular como el regular(Cauchy-Kowaleski). En los ejemplos, se muestra como en muchos casos las soluciones obtenidas son polinómicas. El algoritmos descrito ha sido implementado en MAPLE.
2. Considerar la ecuación como el lugar de ceros de una función definida sobre el fibrado tangene. Así, la ecuación diferencial se entiende como una sección de una algebra libre de presentación finita, cuy
