Resumen de El método de Newton en espacios de Banach
- español
El método de Newton es el método iterativo más utilizado para resolver la ecuación no linear F(x) = 0. En esta tesis analizamos la convergencia de este método para operadores definidos entre dos espacios de Banach, por lo que nuestros resultados se pueden aplicar a un amplio rango de problemas, tanto ecuaciones reales como complejas, sistemas de ecuaciones no lineares o ecuaciones diferenciales o integrales.
En esta memoria desarrollaremos fundamentalmente la técnica de Kantorovich, en la que, mediante relaciones de recurrencia y el empleo de sucesiones mayorizantes, se establecen condiciones para la convergencia de la sucesión de Newton a una solución de F(x) = 0; además se garantiza la existencia y unicidad de dicha solución en un determinado dominio. El trabajo realizado es mayoritariamente teórico, aunque algunos resultados aparecen ilustrados con ejemplos.
- English
Newton's method is a well known iterative method to solve a nonlinear equation F(x) = 0. We analyze the convergence of this method for operators defined between two Banach spaces, so our results can be applied in a wide range of problems, such as real or complex equations, nonlinear systems of equations, differential or integral equations.
Firstly we study Newton's method in terms of the linear operator LFx=F' x-1F ''x F 'x1 Fx. In this sense, new convergence results are given in terms of this operator.
Another part of this report is devoted to the study of Newton's method assuming that F satisfies different conditions from the classical ones (Kantorovich).
Finally, as an acceleration of Newton's method, a new third order iterative process is obtained. Its basic properties (convergence, unicity of solution, error estimates, etc.) are analysed.
This work is mainly theoretical although some results are illustrated with examples.
