María Burgos
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada
mariaburgos@ugr.es

María del Mar López-Martín
Departamento de Educación. Universidad de Almería
mdm.lopez@ual.es

Verónica Albanese
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada
vealbanese@ugr.es

Carmen Gloria Aguayo-Arriagada
Departamento de Educación. Universidad de Almería
cgaguayo@ual.es

Abstract

In order for teachers to understand how mathematical learning develops in their students, they must be able to interpret and judge the mathematical activity put at stake. This will allow teachers to make action decisions enabling them to overcome the difficulties that students have in solving mathematical tasks. This paper describes the results of the evaluation of the knowledge and competences of pre-service teachers to interpret students’ responses to probability tasks in the context of fair game and to propose strategies to surpass the limitations in those students who gave an inadequate solution. Among the results obtained, we highlight that pre-service teachers show a biased knowledge of the notion of fair game and encounter difficulties in interpreting and justifying the correctness of students’ answers, as well as in identifying proportional reasoning in their responses. Intervention proposals to help students overcome the errors made were vague and not very explicit in relation to the mathematical content involved.

Keywords: Cognitive analysis, Fairness of change games, Onto-semiotic approach, Probability, Proportional reasoning, Teachers’ education.

MSC Subject classifications: 97K10, 97K50.

Introducción

El interés por iniciar el estudio de los fenómenos aleatorios y la probabilidad desde edades tempranas está ampliamente reconocido en diversas investigaciones y propuestas curriculares (Alsina and Vásquez 2016; Batanero et al. 2021; Common Core State Standards Initiative (CCSSI) 2010; Jones, Langrall, and Mooney 2007; “Real Decreto 126/2014, de 28 de Febrero, Por El Que Se Establece El Currículo Básico de La Educación Primaria” 2014; “Principles and Standards for School Mathematics” 2000), con el propósito de formar a ciudadanos capaces de tomar decisiones en ambientes de incertidumbre. Estas propuestas defienden el desarrollo progresivo del razonamiento probabilístico desde las primeras edades, a partir de experiencias estocásticas cercanas al estudiante (Batanero et al. 2016).

Para realizar la integración progresiva de estos contenidos que garantice un desarrollo de la alfabetización probabilística, entendida como conjunto de conocimientos, capacidades y actitudes que permiten al ciudadano desenvolverse frente a los fenómenos aleatorios (Gal 2005), es necesario prestar especial atención al conocimiento profesional del profesor para enseñar estos temas (Vásquez and Alsina 2019). Caracterizar los componentes del conocimiento de los profesores en relación al razonamiento probabilístico permitirá diseñar materiales adecuados y actividades eficaces para la formación de los profesores (Batanero et al. 2016).

A pesar de que la investigación sobre formación de profesores es hoy en día considerable (Llinares and Krainer 2006), son pocos los trabajos que se han centrado en los conocimientos de los futuros profesores respecto a la probabilidad. Investigaciones recientes muestran que muchos de los futuros profesores presentan sesgos en el razonamiento probabilístico similares a los que muestran los estudiantes (véase Alonso-Castaño et al. 2019; Batanero et al. 2014, 2015, 2012; Chernoff and Russell 2012; Gea, Parraguez, and Batanero 2017; Gómez, Batanero, and Contreras 2013; Mohamed 2012; Prodromou 2012; Vásquez and Alsina 2015). En este sentido, autores como Begolli et al. (2021; Boyer and Levine 2015; Bryant and Nunes 2012; Langrall and Mooney 2005; Van Dooren 2014; Watson, Collis, and Moritz 2007), sugieren que detrás de gran parte de los errores de interpretación de conceptos o aplicación de procedimientos en el ámbito de la probabilidad, tanto en estudiantes como en futuros profesores, puede estar un razonamiento proporcional insuficiente. El razonamiento proporcional, entendido como la habilidad de establecer relaciones multiplicativas entre dos cantidades y de extender dicha relación a otro par de cantidades (Lamon 2007), involucra un sentido de covariación y de comparaciones múltiples en términos relativos. Dicho razonamiento es considerado como un componente básico del razonamiento probabilístico pues forma parte integrante de los componentes de análisis del espacio muestral, de la cuantificación proporcional de las probabilidades y de la comprensión y uso de las correlaciones (Bryant and Nunes 2012).

El presente trabajo pretende evaluar los conocimientos didáctico-matemáticos de maestros en formación para: interpretar las respuestas de alumnos a una tarea de probabilidad que involucra la idea de juego equitativo, distinguir soluciones correctas de incorrectas y proponer estrategias que ayuden a los alumnos a superar las dificultades que los llevaron a dar una respuesta inadecuada. Además, nos interesa conocer qué interpretan por razonamiento proporcional y cómo lo identifican en las respuestas dadas por los alumnos ficticios. Creemos que el contexto de la equitatividad en juegos es especialmente adecuado para analizar el razonamiento proporcional en tareas de probabilidad; éste aparece involucrado por un lado en la comparación de probabilidades y por otro en la relación inversa entre ganancia y probabilidad de ganar de cada jugador para que el juego sea equitativo. La información obtenida nos permitirá tomar decisiones para diseñar e implementar acciones formativas con objeto de desarrollar en ellos aspectos epistémicos, cognitivos e instruccionales del conocimiento didáctico-matemático sobre el razonamiento probabilístico en tareas de juego equitativo y las implicaciones del razonamiento proporcional en dicho contexto.

Antecedentes y fundamentos teóricos

Juego equitativo

Un juego de azar es justo o equitativo si se asegura la no existencia de ventaja para ningún jugador, es decir, si la ganancia esperada es la misma para todos los jugadores. Cuando se estudia la equitatividad de un juego aparecen por tanto dos situaciones posibles: 1) si en cada partida todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar, el juego es equitativo cuando estos obtienen la misma cantidad en caso de salir premiados; 2) si las probabilidades de ganar de los jugadores no son todas iguales, el juego es equitativo sólo cuando el producto de la probabilidad de ganar por la cantidad que se obtiene como premio es igual para todos los jugadores, es decir, cuando se igualan las esperanzas de ganancias.

Así pues, para estudiar si un juego es o no equitativo, el alumno debe considerar el conjunto de resultados posibles (espacio muestral), aquellos que permiten ganar a cada jugador (casos favorables) y aplicar la regla de Laplace para determinar la probabilidad de ganar de cada jugador. En este momento debe comparar las fracciones que determinan dichas probabilidades para decidir si son la misma, en cuyo caso deberá comprobar si obtienen el mismo premio. Así, si se consideran las variables aleatorias de las ganancias de cada uno de los jugadores, el alumno deberá establecer una relación de proporcionalidad inversa para igualar las esperanzas de los dos jugadores (producto de la probabilidad de ganar por el premio otorgado), de donde obtendrá el valor del premio.

A pesar de que diversos trabajos han demostrado que el contexto de la equidad en juegos puede dar lugar a un área de investigación motivadora y fructífera para involucrar a los estudiantes en las ideas probabilísticas (Kazak, Wegerif, and Fujita 2015; Lee, Angotti, and Tarr 2010; Pratt 2000), son escasas las investigaciones que abordan la comprensión de las nociones de esperanza matemática y juego equitativo. Algunos de los trabajos desarrollados en torno a este tema se han centrado en analizar aspectos como: las estrategias que ponen en juego los estudiantes para decidir si un juego es o no equitativo (Watson and ColIis 1994); las intuiciones sobre la esperanza matemática (Schlottmann and Anderson 1994); la influencia de las experiencias fuera del entorno escolar en el desarrollo de la idea de equitatividad y su relación con la de probabilidad (Lidster et al. 1996); la relación de la comprensión de la idea de juego equitativo en niños con sus creencias y la influencia en la asignación de probabilidades (Cañizares et al. 1999). En la experiencia desarrollada en Schlottmann and Anderson (1994) con niños de 5 a 10 años, los autores observan que incluso los más pequeños, tienen en cuenta tanto la probabilidad de ganar el juego como el valor del premio en caso de ganar para decidir si un juego es equitativo. Sin embargo, muestran dificultades para transformar un juego no equitativo en equitativo. Recientemente, en Hernández et al. (2021) los autores han analizado los significados personales del concepto de juego equitativo en niños costarricenses. Si bien la mayoría de los participantes mostraron una comprensión adecuada de la noción de juego equitativo, presentaron algunos conflictos como considerar que para ser equitativo todos los jugadores han de jugar al mismo resultado, o no tener en cuenta la independencia de ensayos sucesivos. Asimismo, los participantes tuvieron grandes dificultades para justificar la equiparación de ganancia según la esperanza de ganar de cada jugador, lo que “es debido a una falta de desarrollo de razonamiento proporcional” (Hernández et al. 2021, 239).

Por otro lado, aunque es innegable el esfuerzo realizado en los últimos años en investigaciones centradas en la formación de profesores, apenas se ha puesto el foco de atención en la evaluación, caracterización y desarrollo de conocimientos didáctico-matemáticos en relación con el juego equitativo. Las investigaciones referentes al conocimiento profesional del profesor sobre probabilidad (Batanero et al. 2015; Mohamed 2012; Mohamed and Ortiz 2012; Mohamed, Ortiz, and Serrano 2013; Ortiz, Batanero, and Contreras 2012; Vásquez and Alsina 2017) han puesto de manifiesto las dificultades que presentan los profesores (tanto en formación como en ejercicio) con la noción de esperanza matemática y para diferenciar juegos equitativos de no equitativos.

En Ortiz, Batanero, and Contreras (2012) los autores analizaron el conocimiento sobre el juego equitativo en 167 futuros maestros de Educación Primaria. Los participantes debían resolver dos problemas, indicar el contenido matemático involucrado y después analizar respuestas de estudiantes de primaria a dichas tareas. En la resolución de los problemas, la mayoría de los participantes utilizaron estrategias correctas para comparar las probabilidades de ganar de los diferentes jugadores, pero mostraron errores de razonamiento proporcional. Los futuros maestros discriminaron con facilidad las respuestas correctas e incorrectas de los alumnos, sin embargo, tuvieron dificultades para explicar de manera pertinente las posibles razones de los errores en las respuestas. Los razonamientos erróneos mejor identificados fueron la carencia en el razonamiento proporcional y el requerimiento de jugar varias veces para considerar un juego equitativo. Los resultados de la experiencia descrita en Batanero et al. (2015), también con futuros maestros de primaria, ponen de manifiesto que sólo la mitad de los participantes fue capaz de calcular el valor esperado de ganancia para convertir un juego a priori no equitativo en equitativo. En Vásquez and Alsina (2017) los autores plantean una situación hipotética sobre juego equitativo a un grupo de profesores chilenos de Educación Primaria. Entre los resultados obtenidos, los autores señalan que la cuarta parte de los participantes responde de manera errónea, comparando sólo el número de casos favorables sin emplear razonamiento proporcional.

El conocimiento del profesor

Para afrontar el estudio de los conocimientos y competencias didáctico-matemáticas del profesor, nos posicionamos desde la perspectiva del modelo de categorías de Conocimientos y Competencias Didáctico-Matemáticas (en adelante CCDM) del profesor de matemáticas, (Godino et al. 2017), desarrollado en el marco del Enfoque Ontosemiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemática (Godino, Batanero, and Font 2007).

En el modelo CCDM se asume que el profesor debe tener un conocimiento matemático que coordine el conocimiento matemático común relativo al nivel educativo donde imparte su docencia (compartido con sus estudiantes y suficiente para resolver los problemas y tareas propuestas en el currículo), con el conocimiento ampliado que permita conectar el contenido de estudio con otras nociones que aparecen en el currículo del nivel educativo en cuestión o con nociones matemáticas subsecuentes. Sin embargo, a medida que se ponga en juego algún contenido matemático, el profesor debe tener un conocimiento especializado o didáctico-matemático de las distintas facetas que afectan a la planificación y gestión de un tema específico: epistémica (significados institucionales del contenido), ecológica (orientar las tareas de acuerdo con el currículum institucional obligatorio), cognitiva (significados personales del estudiante), afectiva (reaccionar a la angustia, indiferencia, enfado, etc., manifestado por los estudiantes), interaccional (identificar y responder a los conflictos e interacciones de los estudiantes) y mediacional (conocer y elegir los recursos más adecuados para la enseñanza).

En este trabajo, nos centramos fundamentalmente en algunos aspectos de las facetas epistémica, cognitiva e interaccional del conocimiento didáctico-matemático. La faceta epistémica concierne al conocimiento didáctico-matemático sobre el propio contenido, es decir, la forma particular en la que el profesor de matemáticas conoce y comprende las matemáticas. El profesor, además de las matemáticas que le permiten resolver problemas (lo que implica su conocimiento común y ampliado), debe conocer y articular la diversidad de significados parciales de un objeto matemático específico, así como, ser capaz de resolver una tarea a través de diferentes procedimientos, proporcionar varias justificaciones e identificar el conocimiento involucrado durante el proceso de resolución de una tarea matemática. La faceta cognitiva concierne al conocimiento de cómo los estudiantes aprenden, razonan y entienden las matemáticas y como progresan en su aprendizaje. Considera el conocimiento necesario para interpretar y evaluar el grado de ajuste entre los significados personales (conocimiento de los estudiantes) y los significados institucionales (conocimiento desde el punto de vista de la entidad educativa). El conocimiento especializado en la faceta cognitiva garantiza que el profesor pueda comprender las formas de pensar de los estudiantes y reconocer las dificultades y errores que surgen en el proceso de resolución de problemas. El aspecto interaccional refiere al conocimiento sobre la enseñanza de las matemáticas, organización de las tareas e interacciones que se puede establecer en el aula, para identificar y superar posibles conflictos en la interacción comunicativa.

Además de disponer de estos conocimientos, el modelo CCDM propone que el profesor debe ser competente para abordar los problemas didácticos básicos presentes en los procesos de enseñanza y aprendizaje. En particular, la competencia de análisis e intervención didáctica permite al profesor describir y explicar lo que ha sucedido en el proceso de estudio, juzgar lo que ha sucedido y hacer propuestas de mejora para futuras implementaciones (Godino et al. 2017). Dar respuestas apropiadas a situaciones reales en el aula de matemáticas, supone, en particular, la capacidad para analizar e interpretar las soluciones de alumnos a tareas matemáticas, identificar elementos matemáticos esenciales en las prácticas matemáticas (como puede ser el razonamiento proporcional involucrado en tareas de probabilidad) y tomar decisiones adecuadas que aprovechen el potencial matemático de las estrategias erróneas o inesperadas.

Método

Para alcanzar el objetivo descrito en la presente investigación, se ha realizado un análisis de contenido de las respuestas dadas por los participantes a la tarea incluida en la Figura [Cuadro: Tarea]. Parte del equipo investigador, realizó de manera independiente el análisis descriptivo de los informes de los futuros profesores, contrastando con los resultados de investigaciones previas. A continuación, se discutieron con el resto de las investigadoras las posibles discrepancias y se consensuaron las categorías resultantes del análisis, en un proceso cíclico e inductivo, propio de la investigación cualitativa. De igual forma, las investigadoras discutieron y acordaron los criterios de puntuación para valorar la pertinencia de las respuestas a cada una de las consignas de la tarea propuesta. A partir de los criterios determinados se realizó una valoración global cuantitativa del conocimiento didáctico-matemático de los futuros profesores. En este caso se emplearon herramientas estadísticas.

A lo largo de la sección se detallan las características de la muestra seleccionada, así como del instrumento empleado.

Contexto

Para el desarrollo de la investigación se contó con la colaboración de 116 estudiantes para maestro de Educación Primaria (EPM, en adelante) de una universidad española durante el año académico 2020/21. Los EPM estaban finalizando el período de formación en la asignatura de tercer curso “Enseñanza y Aprendizaje de la Aritmética, la Estadística y el Azar”. Al acabar este curso, los estudiantes conocen y relacionan entre sí los principales conceptos, propiedades y procedimientos que conforman los temas de los bloques de contenidos de “Números” y “Estadística y Probabilidad” de Educación Primaria y han recibido formación específica sobre fundamentos de la Didáctica de las Matemáticas, concretada en aspectos cognitivos (aprendizaje matemático, errores y dificultades) e instruccionales (diseño y secuenciación de tareas, materiales y recursos). La actividad se propuso una vez concluida la formación correspondiente a los contenidos del Bloque de Estadística y Probabilidad.

Instrumento de recogida de datos

La investigación es de tipo cualitativo; se trabaja con las respuestas abiertas de los EPM a la tarea descrita en la Figura [Cuadro: Tarea] en las que deberán analizar las respuestas de cuatro alumnos (ficticios) de Educación Primaria a un problema que involucra la idea de ganancia en juego equitativo.

En el juego, el espacio muestral está determinado por 6 sucesos elementales y equiprobables. Dado que Marta y Pedro cuentan con 4 y 2 casos favorables, respectivamente, la probabilidad de ganar de Marta es de 4/6 mientras que la de Pedro es de \(2/6\). Teniendo en cuenta que las probabilidades de ganar son diferentes, para que el juego sea equitativo, las ganancias deberán ser inversamente proporcionales a la probabilidad de ganar de cada jugador. Si se define la variable aleatoria \(X\) que toma como valores las ganancias de Marta e \(Y\) la asociada a las ganancias de Pedro, se tiene que la esperanza matemática asociada a ambas variables es:

\[E[X]=\frac{4}{6}\times 1 = \frac{4}{6}, \hspace{0.5cm} E[Y]=\frac{2}{6}\times g_P,\qquad(1)\] siendo \(g_A=1\)€ la ganancia de Marta, y \(g_P\) la ganancia de Pedro cada vez que el resultado le es favorable. El juego será justo o equitativo si ninguno tiene más ventaja que el otro, es decir, cuando \(E[X]=E[Y]\), o equivalentemente, si \(g_P=\frac{4}{2}=2\)€.

De manera menos formal, dado que la probabilidad de que gane Pedro es la mitad de la que gane Marta, su ganancia deberá será el doble de la de Marta para que el juego sea justo. Por tanto, Pedro deberá recibir 2€ cada vez que gane.

Entre las respuestas y justificaciones de los alumnos ficticios (Figura [Cuadro: Tarea]), la única correcta es la de Pepe, que, si bien no explicita las probabilidades de ganar de cada jugador, reconoce que uno tiene el doble de posibilidades de ganar que el otro y por tanto el premio del segundo debe ser el doble que el premio del primero para que el juego sea equitativo (“equilibrado”). En este caso, se puede considerar un razonamiento proporcional implícito en su respuesta.

Luis comete un error al indicar que las posibilidades de ganar de un jugador son “4 más” que las del otro; parece aplicar una comparación aditiva con respecto a las posibilidades de ambos jugadores, pero no identifica correctamente los casos favorables del segundo jugador. Si bien podría pensarse que Luis tiene la intuición de que el jugador con menos posibilidades debe ganar más, falta completamente un razonamiento proporcional.

María afirma que un jugador tiene 4 veces más posibilidades del otro; podría haber identificado erróneamente que el segundo jugador tiene un solo caso favorable, en cuyo caso se equivoca al identificar los casos favorables, o alternativamente se equivoca al establecer la relación multiplicativa entre los casos favorables de los dos jugadores. Sin embargo, María establece la relación inversamente proporcional respecto a la ganancia.

Emilia calcula correctamente las probabilidades de ganar de ambos jugadores. Si bien no compara explícitamente las fracciones \(4/6\) y \(2/6\), se puede pensar que hay razonamiento proporcional en la comparación implícita de las probabilidades que lleva a Emilia a dar por hecho que el juego no puede ser nunca justo porque las probabilidades son diferentes. Sin embargo, ignora el rol del premio para compensar proporcionalmente las posibilidades de ganar y buscar la equidad del juego.

Posibles estrategias para explicar a los estudiantes sus errores pueden ser las siguientes. En relación al cálculo de probabilidades, recurrir a algún tipo de representación del espacio muestral y de los casos favorables a cada jugador. Cuando se presenta un cálculo erróneo del premio (Luis) o se ignora (Emilia), se podría plantear primero una situación en la que ambos jugadores tengan las mismas probabilidades de ganar y en ese caso observar que la ganancia debería ser la misma. También puede ser útil plantear nuevas situaciones en las que el número de casos posibles de ambos jugadores no sea el mismo (lo que motive una comparación de fracciones con distinto denominador). Es necesario incidir en la relación de proporcionalidad inversa asociada a la justicia o equitatividad en el juego, de manera que aquel que tenga la mitad de posibilidades de ganar reciba el doble de dinero en aquellas ocasiones en que gane. Finalmente es importante recurrir a la simulación y realizar una serie larga de repeticiones de jugadas para ver el comportamiento de la ganancia esperada respecto al premio de cada jugada (dado que en una serie corta se producen variaciones en las frecuencias asociadas a cada suceso). Sin embargo, esta estrategia necesita que el docente diferencie claramente y domine los elementos que la caracteriza ya que: (1) a partir de la realización del experimento se obtiene un valor estimado de la probabilidad, que puede variar con cada realización del mismo; (2) es difícil comprender cuál es el número de repeticiones que se debe realizar con objeto de obtener el valor de la probabilidad teórica (Parraguez et al. 2017).

Resultados

En esta sección presentamos los resultados del análisis de los informes elaborados por los EPM. En primer lugar, analizamos las respuestas a cada una de las consignas, presentando las categorías de respuestas encontradas y finalmente una valoración global de éstas.

Valoración del grado de corrección de las respuestas de los alumnos

Identificación de la respuesta y justificación correcta por parte de los EPM

De forma general, los resultados obtenidos en la identificación y justificación de las respuestas de los alumnos ficticios son similares a los resultados descritos en Ortiz, Batanero, and Contreras (2012). La mitad de los participantes identifica la respuesta de Pepe como la única correcta argumentando en el mismo sentido que lo hace este alumno. Sin embargo, sólo 19 EPM indican la presencia de razonamiento proporcional en la respuesta de Pepe (sin dar más indicación al respecto), 7 mencionan implícita o explícitamente la proporcionalidad inversa en su justificación (véase, a continuación, la respuesta de EPM79) y 6 hacen alusión a la esperanza matemática, al considerar la “ganancia total” como el número de casos favorables por el premio en cada caso (véase el argumento de EPM56).

EPM79: al ser las probabilidades de ganar diferentes, para que el juego sea equitativo, las ganancias deberán ser inversamente proporcionales a la probabilidad de ganar de cada jugador.

EPM56: por cada cara Marta ganaría un 1€ y en total serían 4€ y Pedro por cada cara ganaría 2€ y en total serían 4€, de esta forma es equitativo.

El 19,9% de los EPM identifica la respuesta de Emilia como la única correcta, justificando que si los casos favorables a uno de los jugadores son mayores que los casos favorables al otro jugador, entonces el juego siempre será injusto. Además, más de la tercera parte de estos estudiantes señalan, de manera similar a EPM49, que la forma de hacer el juego justo sería buscar la equiprobabilidad entre ambos jugadores.

EPM49: Por tanto, no hay que buscar una compensación económica para que tengan el mismo número de oportunidades de ganar si no de que partan de la misma probabilidad en cuanto a números de un dado asignados.

El 18,1% de los EPM identifica las respuestas de Pepe y Emilia como correctas. Sin embargo, gran parte de éstos consideran que no es lo mismo “juego justo” que “juego equitativo”. Por ejemplo, EPM84 establece la relación entre la probabilidad de ganar y la cantidad de dinero, pero matiza que el juego no puede ser justo tal como indica Emilia.

EPM84: Al tener la mitad de probabilidades es equitativo que si gana obtenga el doble (como ha dicho Pepe), pues es lo proporcional, pero no es justo.

Finalmente, el 4,3% de los participantes indica como correcta también la respuesta de María y el 6,9% ofrece argumentos ambiguos, como por ejemplo, el dado por EPM21.

EPM21: Cada alumno ha dado su justificación sobre lo que considera que es correcto, pero no significa que todos tengan correctas sus respuestas, hay algunos que usan más la intuición y otros utilizan las matemáticas para justificar sus respuestas.

Destacamos el hecho que ningún EPM ha considerado la respuesta dada por Luis como correcta.

Identificación de las estrategias incorrectas de los alumnos por parte de los EPM

A continuación, los EPM debían explicar los diferentes errores en las soluciones de los alumnos y las intuiciones o estrategias que los habían motivado. A continuación, se detallan y ejemplifican cada una de las categorías encontradas en las descripciones de las estrategias incorrectas empleadas por los alumnos.

J1. Justificación basada en la probabilidad de un solo jugador. En las respuestas de Luis y María, los participantes señalan como origen del error el hecho de no considerar los casos favorables de Pedro. Por ejemplo,

EPM37: […] atender solamente a las posibilidades de Marta olvidándose de que Pedro también tenía.

J2. Justificación basada en la falta de relación entre las probabilidades (o casos favorables) de los dos jugadores. Reconocen que el error viene dado por no establecer la relación entre las probabilidades, o entre los casos favorables de los dos jugadores, tal y como señala EPM23 respecto a la respuesta dada por el alumno ficticio Luis.

EPM23: no compara el número de posibilidades [de los dos jugadores].

Este tipo de error también fue detectado en la investigación de Vásquez and Alsina (2015), en la que los participantes realizaron la comparación únicamente de los casos favorables, no considerando la totalidad de datos.

J3. Justificación a partir de una relación en la que el premio de un jugador en función de las probabilidades de ganar del otro. En esta categoría, se incluyen aquellas respuestas en las que se considera que el error procede de igualar las probabilidades de un jugador con el premio del otro (en el caso de María) o añadiéndole uno (en el caso de Luis).

EPM89: María considera que si Marta tiene más oportunidades para que sea más justo el juego Pedro debe ganar el mismo dinero que oportunidades tiene Marta, es decir, 4 euros.

EPM110: Luis ha pensado que, si Marta gana 1 euro teniendo 4 posibilidades, Pedro con solo dos posibilidades, debía ganar el número de posibilidades de Marta más 1 euros.

Esto lleva a los participantes, como ocurría en Ortiz, Batanero, and Contreras (2012), a admitir la ventaja de uno de los jugadores pero no cuantificar correctamente el valor del premio.

J4. Justificación basada en el cálculo de la ganancia total. En esta categoría los EPM justifican la incorrección de las respuestas de los alumnos en base al cálculo de la ganancia total de cada jugador como el producto de la ganancia en cada caso, por el número de casos favorables.

EPM76: Luis se ha equivocado al pensar que si le damos a Pedro 5 euros por cada tirada, estaría ganando 10 euros en total, mientras que Marta ganaría 4 euros en total, por lo que no es equitativo.

EPM40: La respuesta de María tampoco es acertada. Si multiplicamos 4€ por cada vez que gana Pedro nos da 8€, más de lo que puede ganar Marta. Por ello, el juego planteado de esta manera tampoco es equitativo.

J5. Justificación basada en una comparación incorrecta de las probabilidades de ganancia (con reparto proporcional del premio). Algunos EPM llegan a notar que el cálculo del premio que realiza María es correcto respecto a la identificación de los casos favorables e indican que el error reside precisamente en una comparación incorrecta de las probabilidades de ambos jugadores.

EPM61: En cuanto a María, también realiza un razonamiento incorrecto ya que no es verdad que Marta tiene 4 veces más probabilidades de ganar sino 2 (el doble de Pedro) y también multiplica el dinero de Pedro (1 euro) por las posibilidades que tiene de más Marta (4 en su razonamiento). Por tanto, la solución también sería incorrecta. Sin embargo, sí que podemos decir que de alguna forma tiene un razonamiento proporcional porque piensa que ya que Marta tiene 4 veces más posibilidades que Pedro, este debería ganar 4 euros, es decir, 4 veces más para compensar.

EPM61 identifica que el error está en el cálculo de probabilidades de María que no obstante, sí aplica razonamiento proporcional en el reparto del premio.

J6. Justificación basada en ignorar el premio. Algunos EPM indican que el error cometido, fundamentalmente por Emilia, ha sido no tener en cuenta el premio como un factor determinante que influye en la equitatividad de un juego.

EPM51: [Emilia] únicamente se ha focalizado en la probabilidad […], sin embargo, no se ha concentrado en el dinero que debe ganar Pedro para que así el juego sea justo.

J7. Falta de comprensión del enunciado. En esta categoría se consideran las explicaciones de los EPM a los errores en base a una comprensión limitada del enunciado.

EPM116: [Respecto a María] Este error puede deberse a un error de comprensión del enunciado del ejercicio o al interpretar los datos o la falta de reflexión en los alumnos.

J8. Justificación no concluyente. Muchas de las justificaciones de los EPM no van más allá de consideraciones genéricas respecto a la presencia de alguna equivocación en el cálculo de la probabilidad o del premio (en el caso de Luis y María) o que el juego es siempre injusto (en el caso de Emilia), pero sin llegar a justificar lo que puede haber llevado al alumno a cometer el error.

EPM25: No es correcta [la respuesta de María] porque no tiene 4 veces más de posibilidades, tiene el doble, ósea que Marta tiene 4/6 y Pedro 2/6.

La Tabla [Tabla: distribución justificaciones] recoge las frecuencias asociadas a cada una de las justificaciones presentadas anteriormente. Como se puede observar, la suma total de justificaciones dadas a las respuestas de los alumnos puede superar al número de participantes que identificaron como incorrecta las respuestas de Luis (los 116 EPM), María (111 EPM) y Emilia (72 EPM). Esto es debido a que algunas categorías de justificación (entre las J1 y J5 en los casos de Luis y María y la J6 y J8 en el caso de Emilia) aparecen en las producciones de un mismo participante. Por ejemplo,

EPM58: Luis no ha comparado las cantidades [J2] ya que solamente ha tenido en cuenta que Marta tenía 4 oportunidades [J1], pero no que Pedro tenía dos.

EPM80: María solo tiene en cuenta las posibilidades de Marta [J1] y no se fija en que el premio de Marta sería 1 euro aunque tiene 4 posibilidades de ganar mientras que Pedro tiene 2 posibilidades de ganar y ella piensa que su premio debería de ser el mismo número que las posibilidades de Marta [J3] pasando por alto que en realidad Marta solo tiene el doble de posibilidades que Pedro por lo cual para que fuese justo Pedro debería llevarse el doble del premio.

Los participantes han puesto en juego una mayor diversidad de justificaciones asociadas a las respuestas de Luis y María. Destacamos además que un número elevado de estas, hace referencia a las comparativas probabilidad-probabilidad o probabilidad-ganancia. Estas justificaciones son más limitadas en el análisis de la respuesta de Emilia pues, de los que dan respuesta, la mitad lo asocian a que Emilia no tiene en cuenta el premio, mientras que el resto lo basan en la falta de comprensión del enunciado o dan una justificación no concluyente. Al igual que en Ortiz, Batanero, and Contreras (2012) los participantes muestran ciertas dificultades a la hora de explicar las posibles razones que han dado pie a dicho error debido, en algunos casos, a un razonamiento proporcional insuficiente en los EPM.

Reconocimiento del razonamiento proporcional

Además de identificar las intuiciones o estrategias incorrectas, los EPM debían reflexionar sobre la existencia de razonamiento proporcional en las respuestas incorrectas de los alumnos. Cabe destacar que el 62,0% de los participantes no contestaron a esta pregunta. A pesar de esto, el análisis de las respuestas de aquellos participantes que sí explicitaron la existencia de razonamiento proporcional en las respuestas incorrectas de los alumnos, nos ha permitido reconocer cómo es interpretado por los EPM.

RP1. Propiedad en acto. Se identificia el razonamiento proporcional por medio de la propiedad en acto, “a más […], más […]”. Esta interpretación es frecuente en aquellos EPM que identifican incorrectamente razonamiento proporcional en la respuesta de Luis. Por ejemplo, EPM54 señala la necesidad de que a más probabilidad de ocurrencia, se obtenga más ganancia.

EPM54: Ha intentado [Luis] buscar una solución proporcional al problema…. [que Pedro] obtenga mucho más dinero como compensación de la alta probabilidad de ocurrencia de Marta.

RP2. Relación aditiva. Se interpreta el razonamiento proporcional como una relación aditiva \((y=x+c)\) entre cantidades de magnitudes (casos favorables, desfavorables y posibles en o entre cajas). Estas descripciones aparecen en relación a la respuesta de Luis.

EPM49: Luis ha buscado la proporción para que Pedro consiga con solo dos números el mismo dinero que Marta por ello incluso le ha añadido un euro más a este.

RP3. Relación multiplicativa. El razonamiento proporcional se entiende como la presencia de una relación multiplicativa (entre casos favorables y ganancia o entre probabilidad y ganancia) del tipo “a tantas veces […], tantas veces […]”. Estas observaciones se presentan al valorar la respuesta de María, como es el caso de EPM61.

EPM61: Sin embargo, sí que podemos decir que [María] de alguna forma tiene un razonamiento proporcional porque piensa que ya que Marta tiene 4 veces más posibilidades que Pedro, este debería ganar 4 euros, es decir, 4 veces más para compensar.

Cabe destacar un único caso en el que se identifica claramente que la relación de proporcionalidad (probabilidad-ganancia) es inversa.

EPM114: Pepe sí hace uso de este [razonamiento proporcional] ya que utiliza la proporcionalidad inversa para desarrollar su respuesta. De esta manera, a la mitad de las oportunidades, le pertenece el doble de dinero. De la misma manera piensa María, que utiliza el mismo razonamiento, pero relacionándolo con el cuádruple y con la cuarta parte.

RP4. Cálculo de probabilidades. Se identifica la presencia de razonamiento proporcional como medio para el cálculo de las probabilidades como fracciones de casos favorables y casos posibles. Estas descripciones se observan en el caso de Emilia, estableciendo que el uso de las fracciones para el cálculo de la probabilidad implica la existencia de razonamiento proporcional.

EPM59: Se identifica razonamiento proporcional en Emilia porque usa las fracciones sacando así ambas probabilidades.

RP5. Comparación de fracciones. Se considera la existencia de razonamiento proporcional cuando se presenta una comparación intuitiva “esta es mayor/menor […]” entre las fracciones que determinan las probabilidades. Al igual que en la categoría RP4, estas descripciones se encuentran en el análisis de la respuesta dada por Emilia. A modo de ejemplo véase la justificación dada por EPM5.

EPM5: En este caso [de Emilia] también se puede identificar un razonamiento proporcional puesto que, la alumna, al observar que la probabilidad de que gane Marta es mayor (\(4/6\) frente a \(2/6\)), ha razonado que ya no podía ser justo el juego.

Recordemos que, en las respuestas incorrectas, únicamente se puede reconocer razonamiento proporcional incompleto en las respuestas de María (quien establece relación inversamente proporcional respecto a la ganancia) y Emilia (implícitamente en la comparación de las probabilidades). A continuación, en la Tabla 1 se muestran las frecuencias de los rasgos de razonamiento proporcional identificados en las explicaciones de los EPM. Tal y como se ha mencionado anteriormente, únicamente se han analizado las respuestas de 44 participantes pues el resto no abordó la cuestión planteada. Sin embargo, y dado que se solicitaba en qué casos se aprecia algún grado de razonamiento proporcional, destacamos que la suma total no corresponde con el tamaño de la submuestra ya que algunos participantes indicaron la presencia de razonamiento proporcional en más de una respuesta.

Si bien fueron pocos los EPM que identificaron razonamiento proporcional, en su mayoría lo establecen como la relación multiplicativa entre los casos favorables y la ganancia (que debe ser constante para garantizar la equitatividad del juego, dado que los casos posibles a ambos jugadores es la misma). También consideran razonamiento proporcional aquel que permite una exitosa comparación de probabilidades vistas como fracciones, aunque sólo aparece de manera implícita en la solución dada por Emilia.

Propuestas de intervención para la gestión de errores

La última consigna se propuso con la intención de analizar el conocimiento didáctico-matemático (en la faceta interaccional) del que disponen los EPM para elaborar propuestas de intervención destinadas a que el alumno entienda el porqué de su error y cómo podría solventarlo. A continuación, presentamos la categorización de las estrategias sugeridas por los participantes:

I1. Nueva lectura del problema. En los casos en los que se reconoce una comprensión limitada del enunciado del problema, se propone que se vuelva a leer la tarea con el estudiante (“que lean el texto varias veces para entender lo que nos pide la actividad”, EPM21).

I2. Explicación de conceptos. Se propone explicar a los alumnos conceptos vinculados a la equitatividad del juego (EPM65), la proporcionalidad y el significado de términos como doble, mitad o “veces más que” (EPM83), así como la regla de Laplace (EPM18).

EPM65: […] explicar a los alumnos en que consiste un juego equitativo.

EPM83: Por un lado, me centraría en explicarles bien la proporcionalidad […]. Por otro lado, también me centraría en explicar conceptos como la mitad, 4 veces más… porque hemos podido apreciar como a la hora de poner dichas justificaciones están mal.

EPM18: Primero que todo les haría ver cuál ha sido su confusión y por qué les ha pasado ese fallo, seguidamente trabajaríamos y reforzaría los conocimientos que se han podido olvidar con la regla de Laplace.

I3. Resolución del problema por el docente. Se trata de mostrar a los estudiantes la resolución del problema, realizándola en la pizarra, para que el alumnado compare su respuesta con la solución “experta”.

EPM61: Resolvería el problema como ellos lo han razonado y al lado como realmente sería tanto el razonamiento como la solución correcta (paso a paso para ver las diferencias).

I4. Explicación del error. Se considera necesario explicar al estudiante el error que ha cometido, pero no se detalla tal explicación.

EPM53: Una vez visto los fallos los comentaré en clase para que entiendan el por qué está mal.

I5. Representaciones icónicas o gráficas. Se consideran las propuestas que mencionan de manera genérica el empleo de representaciones para mejorar la comprensión del alumnado respecto a los datos o las estrategias a emplear. En su mayoría proponen ”realizar una asignación de probabilidades mediante un diagrama de árbol” (EPM54), si bien no es una representación que se pueda considerar pertinente en este caso.

I6. Realización de simulaciones del juego. Se trata de las propuestas que se refieren a mostrar de manera experimental el funcionamiento del juego. Por ejemplo,

EPM44: Podríamos hacer una simulación del juego, apuntando cuantas veces gana Marta y cuantas veces gana Pedro y poniendo en práctica todas las soluciones que ponen. Al participar ellos/as mismos observan que Marta gana más a menudo y que por tanto el juego no puede ser justo y equitativo.

I7. Empleo de materiales manipulativos. Son propuestas que indican el empleo de materiales manipulativos (mayoritariamente dados, pero también algunos como cartas o monedas que no tienen relación directa con la tarea). Por ejemplo, EPM43 considera que “si fuera preciso, se haría utilización de material físico para que lo vean mejor”.

I8. Uso de situaciones o problemas parecidos. Se trata de estrategias que sugieren el empleo de diferentes problemas y situaciones más fáciles o similares a la propuesta en el problema para mejorar su comprensión. Por ejemplo, EPM75 recomienda poner “ejemplos más fáciles y aumentando el nivel de dificultad poco a poco.”

De manera general, destaca el carácter genérico y la vaguedad de la mayoría de propuestas, en las que no se llega a concretizar o detallar las intervenciones indicadas y no se distingue a qué alumno va dirigido cada planteamiento. Además, los EPM no tuvieron en cuenta el razonamiento proporcional en la propuesta de soluciones en aquellas respuestas de los alumnos en las que el error involucraba un razonamiento proporcional inadecuado (ni siquiera cuando ellos mismos lo habían reconocido).

En la Tabla 2, se recogen las frecuencias de respuestas encontradas para cada categoría (destacamos que en algunas respuestas se reconoce más de una categoría).

A pesar de la variedad de intervenciones que proponen los futuros docentes para solventar los errores de los alumnos, la mayoría sugiere una resolución conjunta con los estudiantes en la que se les permita “comparar” lo correcto y lo que no lo es. El 25% de los participantes proponen la realización del experimento en el aula con materiales manipulativos. Sin embargo, aunque esta forma de actuación podría considerarse acertada, es necesario que el docente precise que a partir de las frecuencias relativas se obtiene una estimación de la probabilidad de un suceso, que tiende a estabilizarse cuando se repite muchas veces el experimento en largas series de ensayos. En caso contrario, se podría llevar al alumno a considerar, en base a un número finito de resultados aislados, que el juego nunca puede ser justo. Además, esta forma de proceder puede provocar que los alumnos no lleguen a comprender la idea de convergencia imposibilitando identificar la relación existente entre el enfoque clásico y frecuencial. De hecho, este error aparece reflejado en algunos de los informes de los EPM. Por ejemplo,

EPM73: Cogería un dado y lo tiraríamos al azar unas cuantas veces para que el alumnado vaya apuntando los resultados que van saliendo, por probabilidad, saldrán más números que beneficiaran a Marta, por lo que se darán cuenta de que no es un reparto justo, ya que ella tiene más posibilidades que Pedro.

Otra cuarta parte de los EPM proponen como estrategia ahondar en el error que ha llevado al alumno a dar la respuesta incorrecta, si bien no se ofrecen detalles que indiquen de qué manera o qué preguntas realizar al alumno para lograrlo.

Evaluación global del conocimiento didáctico-matemático de los futuros maestros

Se ha considerado oportuno valorar positivamente las respuestas parcialmente correctas o incompletas en cada una de las consignas.

En relación al grado de corrección de la solución, se ha asignado la puntuación máxima (2 puntos) si la valoración dada es correcta y está justificada de forma pertinente, 1 punto si se ha valorado correctamente el grado de corrección de la solución, pero la justificación es parcial o incompleta, y 0 en otro caso.

Con el mismo criterio en la identificación del razonamiento proporcional en las respuestas incorrectas de los alumnos, se han asignado 2 puntos si se identifica razonamiento proporcional en las respuestas de María y Emilia y se describe correctamente la relación de proporcionalidad, 1 punto cuando se identifica el razonamiento proporcional en las respuestas de María y Emilia, pero no se describe adecuadamente la relación de proporcionalidad establecida y 0 puntos si se identifica razonamiento proporcional en una respuesta cuando no lo hay, o se señala que sí hay razonamiento proporcional pero no se justifica.

Finalmente, las propuestas de intervención para la gestión de errores se valoran con 2 puntos si se plantean estrategias adecuadas y se describe de manera concreta cómo se tiene en cuenta la falta de conocimiento en relación al razonamiento empleado por el alumno, 1 punto si se proponen estrategias adecuadas pero se describen con un grado de concreción parcial que impide identificar cómo se tiene en cuenta la falta de conocimiento matemático en los estudiantes (por ejemplo, proponen usar representaciones gráficas, materiales manipulativos o similares, característicos de la probabilidad). En cualquier otro caso, se valora con 0 puntos.

Teniendo en cuenta los criterios y pautas de valoración establecidos, los EPM podían obtener hasta un máximo de 14 puntos, sin embargo, no superaron el umbral de los 11 puntos. La puntuación media es de 2,41 con una desviación típica de 2,831. La Tabla 3 resume el análisis estadístico descriptivo de cada uno de los ítems analizados.

Si se pone el foco de atención en las valoraciones del grado de corrección de las respuestas dadas por los alumnos, se observa que el 50% de los participantes tienen una calificación de 0 puntos en cada uno de ellos y valores medios inferiores a 0,62. Estos resultados deficientes se ven acrecentados por la presencia de una asimetría positiva, que indica que gran parte de los participantes han tenido calificaciones relativamente bajas. Asimismo, se observa que los EPM presentan mayores limitaciones a la hora de identificar la presencia de un razonamiento proporcional en las respuestas de los alumnos.

El análisis de la varianza ANOVA señala la existencia de diferencias significativas en las puntuaciones medias obtenidas en cada una de las tareas (\(p\)-valor interior al 0,1%). Además, el estudio del coeficiente Tau-b de Kendall indica la existencia de correlación (positiva) entre el grado de corrección y el resto de tareas (\(p\)-valor\(_{GC-RP}\) = 0,004; \(p\)-valor\(_{GC-I}\) = 0,015), lo que indica que una valoración adecuada sobre el grado de corrección de las respuestas de los alumnos implica mejores resultados en la identificación de razonamiento proporcional y la propuesta de gestión de errores.

Conclusiones

Para poder afrontar con éxito las tareas que forman parte de su práctica profesional, el profesor necesita disponer de un conocimiento especializado que le permita, entre otras acciones, identificar aspectos relevantes en las situaciones de enseñanza-aprendizaje e interpretarlos para poder tomar decisiones de enseñanza debidamente fundamentadas (Mason 2016). Por este motivo, uno de los objetivos en la formación de profesores debe ser caracterizar y desarrollar los conocimientos que ayuden a los futuros docentes a reconocer las estrategias usadas por los estudiantes para resolver problemas, relacionándolas con contenidos matemáticos importantes, así como a decidir qué actividades proponer para ayudar a los estudiantes a progresar en su aprendizaje (Jacobs, Lamb, and Philipp 2010).

En esta línea, la finalidad de este trabajo ha sido informar de los conocimientos y competencias de un grupo de estudiantes para maestro de primaria para interpretar las respuestas de alumnos a una tarea de juego equitativo, reflexionar sobre el razonamiento proporcional implicado y proponer estrategias destinadas a solventar los errores que cometieron dichos alumnos. De los resultados se desprende que los estudiantes para maestro tienen dificultades para identificar las posibles estrategias erróneas detrás de las respuestas incorrectas de los alumnos: más de la tercera parte de los participantes consideró la respuesta de Emilia como correcta, más de la mitad de las justificaciones de por qué son incorrectas las respuestas de Luis o de María fueron no concluyentes, y aproximadamente la cuarta parte en el caso de Emilia. Esto podría deberse, por un lado, a la falta de conocimiento didáctico-matemático sobre las situaciones de juego equitativo y por otro, al tipo de respuestas que los participantes debían analizar e interpretar.

Las limitaciones para identificar las estrategias detrás de las soluciones incorrectas se observan también a la hora de elaborar propuestas didácticas significativas con las que ayudar a los alumnos a superar sus errores. Un porcentaje elevado propone estrategias de forma genérica (destacando la resolución experta del docente y la confrontación “entre lo correcto y lo incorrecto”, sin identificar la especificidad de las distintas respuestas. Como es señalado en Fernández et al. (2018, 64) “los profesores en formación suelen centrar sus decisiones en los procedimientos generales de enseñanza sin tener en cuenta el progreso conceptual de los alumnos”. Son escasos los EPM que tienen en cuenta de manera significativa los errores identificados para sugerir cómo superarlos. Además, algunas de las propuestas, como puede ser el uso de diagramas de árbol o la simulación pueden no ser pertinentes o ser fuente de nuevos errores. En concreto, si el docente no precisa la diferencia entre cálculo y estimación de probabilidades o la necesidad de un gran número de repeticiones para obtener unas conclusiones fiables se podría llevar al alumno a una idea inapropiada de la esperanza matemática (promedio de los valores que pueden ocurrir en una serie infinita de repeticiones del experimento).

Nuestra investigación nos ha permitido también conocer algunas características del conocimiento de los profesores en relación al juego equitativo y su relación con el razonamiento proporcional, elemento fundamental para diseñar programas de formación docente (Batanero et al. 2016, 23). Un conocimiento sesgado o insuficiente del razonamiento proporcional limita el desarrollo de otras competencias para la enseñanza, como la de interpretar el pensamiento matemático de los estudiantes, en situaciones en las que éste interviene como elemento matemático esencial. En el contexto de la equitatividad en juegos de azar este aparece involucrado, por un lado, en la condición de que los jugadores tengan la misma probabilidad de ganar (lo que lleva a la proporción entre casos favorables y posibles de cada jugador o equivalentes), y por otro, en el establecimiento de una relación proporcional inversa entre la probabilidad de ganar y el premio en el caso de que uno de ellos tenga ventaja (mayor probabilidad de ganar), es decir, en la igualdad de las esperanzas matemáticas.

Las dificultades mostradas por los futuros docentes en este sentido, dejan entrever la necesidad de elaborar planes de intervención que contemplen el desarrollo de los conocimientos matemáticos en relación a los distintos componentes del razonamiento proporcional, en particular, los significados del número racional, como razón, operador, parte-todo o cociente, y las formas de razonar con estos significados, pensamiento relacional, covarianza, entre otros (Lamon 2007), en el contexto de la probabilidad. Como es sugerido en Begolli et al. (2021), las conexiones explícitas entre las proporciones y las probabilidades pueden llevar a los estudiantes a desarrollar una comprensión más profunda del razonamiento probabilístico. Coincidimos con estos autores en que puede ser beneficioso equilibrar y coordinar la instrucción sobre la probabilidad con la instrucción sobre el razonamiento proporcional.

A la luz de nuestros resultados, creemos que para desarrollar los conocimientos y competencias didáctico-matemáticas de los futuros docentes, es necesario incluir en los planes de formación la interpretación y análisis de respuestas de alumnos (faceta cognitiva) y la propuesta de toma de decisiones de acción (faceta instruccional).

Decidir cómo actuar en función de la comprensión de los alumnos es una competencia difícil de lograr (Choy 2016; Fernández et al. 2018; Jacobs, Lamb, and Philipp 2010). En este sentido, en Fernández et al. (2018), los autores sugieren que facilitar a los estudiantes para maestro una guía que les permita centrarse en los aspectos matemáticos relevantes de las respuestas de los alumnos podría ayudarles a responder en función de la comprensión de estos. Se trata de proporcionar a los maestros en formación un lenguaje matemático y un lenguaje sobre el aprendizaje de los alumnos que permita describir el pensamiento matemático de estos aportando evidencias que apoyen sus interpretaciones. Los autores consideran que “el progreso en el discurso profesional parece influir en la capacidad de decidir, generando actividades más acordes con la comprensión de los alumnos” (Fernández et al. 2018, 50).

El instrumento aplicado en esta investigación puede servir para el diseño de actividades en este sentido. No obstante, sería adecuado incorporar como tarea inicial la resolución de los problemas, la identificación de objetos matemáticos en la práctica matemática y la previsión de dificultades, como primer momento de reflexión, sobre el que elaborar el discurso didáctico-matemático, antes de abordar el análisis cognitivo y gestión de trayectorias didácticas (Godino et al. 2017).

Referencias