Luis Armando Hernández-Solís
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a Distancia de Costa Rica
ORCid: 0000-0003-2956-8102 – lhernandez@uned.ac.cr

Carmen Batanero
Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada
ORCid: 0000-0002-4189-7139 – batanero@ugr.es

María M. Gea
Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada
ORCid: 00000-0002-5229-0121 – mmgea@ugr.es

Rocío Álvarez-Arroyo
Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada
ORCid: 0000-0002-3201-8542 – rocioaarroyo@ugr.es

Abstract

An important change in the recent curricular guidelines for Primary Education is the inclusion of probability content that help model many random phenomena. The success in learning of this topic requires taking into account the children’s capabilities in different stages of their development to work with probability. With the aim of guiding teachers, in this work we summarize the main research on strategies and reasoning levels of children in different ages in comparison of probabilities problems. We first analyse the pioneer work by Piaget and Inhelder and Fischbein, and follow with the analysis of studies performed after these authors. Different models of probabilistic reasoning levels, as well as associated strategies, and the main variables that affect the difficulty of comparing probabilities are described and the possible implications on teaching.

Keywords: Comparing probabilities, stages of development, probabilistic reasoning, research survey.

AMS Subject classifications: 97C10, 97C30, 97D70, 97K50

Introducción

En las últimas décadas la enseñanza de la probabilidad se ha ampliado, iniciándose desde los primeros cursos de Educación Primaria, como se observa en diferentes documentos curriculares de distintos países (por ejemplo, (ACARA 2013); (CCSSI 2010); (CME 2001); (MECD 2014); (MEP 2012) y (NCTM 2000)). En estos documentos se sugiere reforzar el lenguaje probabilístico de los niños, proporcionarles experiencias con experimentos aleatorios cercanos y resolver algunos problemas sencillos de comparación de probabilidades.
Ya en los años 50 las investigaciones de (Piaget and Inhelder 1951) mostraron que los niños, desde muy pequeños, pueden comparar probabilidades en situaciones que no requieren del razonamiento proporcional, aunque tienen mayor dificultad cuando se precisa este razonamiento. Sus investigaciones ocasionaron un gran interés por comprender tanto el razonamiento proporcional como el razonamiento probabilístico de los niños; pero la investigación sobre el tema fue principalmente desarrollada por psicólogos, y no ha sido hasta muy recientemente, con el refuerzo de la probabilidad en las escuelas, que ha interesado a los investigadores en didáctica de la matemática.
El objetivo de este trabajo es realizar una síntesis de la investigación que describe las estrategias y niveles de razonamiento de los niños al comparar dos probabilidades. En este tipo de problemas, frecuentes en los textos españoles de los últimos años de Educación Primaria, no se pide al niño el valor numérico de la probabilidad de un suceso, sino solo elegir en cuál de dos experimentos o situaciones la probabilidad de un suceso dado es mayor, lo que es más sencillo.
Los resultados de estas investigaciones deben ser conocidos por los profesores encargados de introducir la probabilidad en la Educación Primaria y, en general, por los padres de estos niños y todos aquellos que se interesan en su razonamiento. Para realizar esta síntesis, nos basamos en una serie de trabajos llevados a cabo por diferentes autores, específicamente los de (Batanero et al. 2016), (Borovcnik and Bentz 1991), (Jones and Thornton 2005), (Jones, Langrall, and Mooney 2007) y (Shaughnessy 1992). Asimismo, se han analizado las principales investigaciones citadas en estos documentos y otras no incluidas en ellos, pero que proponen actividades de comparación de probabilidades a niños entre 6 y 14 años.
En lo que sigue, comenzamos analizando con detalle los trabajos desarrollados por (Piaget and Inhelder 1951) y (Fischbein 1975), quienes fueron pioneros en la investigación sobre el tema. Seguidamente, se describe la investigación posterior sobre razonamiento probabilístico, comparación de probabilidades y estrategias utilizadas en esta tarea, así como sobre las variables que influyen en la dificultad de estos problemas. Se finaliza con algunas implicaciones para la enseñanza de la probabilidad a los niños.

Investigaciones de Piaget e Inhelder y de Fischbein

Las ideas asociadas a la probabilidad son bastante abstractas para los niños, ya que no están tan ligadas a su experiencia directa como los conceptos geométricos o numéricos ((Batanero 2013)). Aunque el azar rodea al niño desde que nace, los fenómenos aleatorios no pueden ser manipulados para obtener un resultado concreto, ni son reversibles. Por el contrario, una operación aritmética como sumar \(a+b\) y obtener \(c\), sí puede ser manejada; si a \(c\) se le quita \(b\) siempre se obtiene \(a\), sin importar lo que se está sumando, ya sean manzanas, juguetes o cualquier otra cosa.
Pero el niño no puede controlar un dado para obtener el número que desee, por ejemplo, y cuando vuelve a lanzar el dado el resultado puede repetirse o no. Piaget e Inhelder indican que esta falta de reversibilidad de los experimentos aleatorios, que sí tienen los fenómenos deterministas (operaciones aritméticas, medida o descomposición de figuras geométricas), puede influir en el desarrollo más tardío de las nociones de probabilidad en los niños ((Piaget and Inhelder 1951)).
A continuación se describen las teorías de Piaget y de Fischbein sobre el razonamiento probabilístico del niño.

Supuestos generales de la teoría de Piaget

La teoría de Piaget influyó profundamente la forma de concebir el progreso mental del individuo, pues en la misma se asume que los niños construyen activamente el conocimiento a través de su interacción con el ambiente. Su investigación se centró no tanto en “qué conocen” los niños, sino en “cómo piensan” al enfrentarse a un problema. Respecto a la comprensión formal de los conceptos matemáticos, brindó criterios e indicadores para determinar en qué nivel de desarrollo intelectual se encuentra el niño según su edad. Analizó no solo el desarrollo del razonamiento en probabilidad, sino de muchos otros conceptos en ciencias y matemáticas.
Piaget describe el proceso de aprendizaje del niño por medio de dos conceptos: la acción y la asimilación-acomodación ((Piaget 1975)). Cuando un individuo afronta un problema matemático, lo intenta resolver (acción) mediante los conocimientos que posee usando esquemas conceptuales existentes que le permiten anticiparse y emplear estrategias y representaciones que conoce. Pero al enfrentarse a nuevas situaciones, el individuo pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio en los que reflexiona sobre los contenidos que conoce, que se muestran insuficientes, por lo que reconoce la conveniencia de modificar sus esquemas mentales. El sujeto realiza un proceso de asimilar y acomodar (reconstruir o expandir) los nuevos conocimientos. Estos procesos, según Piaget, están estrechamente armonizados y explican los cambios del conocimiento a lo largo de la vida.
Piaget defendió que el conocimiento evoluciona en etapas, en cada una de las cuales hay un progreso, y los sujetos que están en una misma fase tienen un modo de razonamiento similar ((Piaget 1975)). La edad en que se alcanza cada etapa es aproximada, pudiendo variar de un niño a otro, pero las etapas siempre se suceden en el mismo orden. Un concepto central de esta teoría es la idea de operación. Las operaciones lógicas y formales constituyen sistemas de acciones interrelacionadas de forma rigurosa y siempre reversibles, siendo la reversibilidad lo que hace posible la deducción ((Cañizares 1997)). El autor distingue cuatro etapas ((Batanero 2013)):

• Período sensorio-motor (0-2 años). Se caracteriza por el movimiento y las sensaciones y describe el razonamiento de los bebés. Se comienza a manipular objetos, percibir y experimentar propiedades (color, tamaño, forma, textura, sabor, olor, etc.)
• Período pre-operacional (2-7 años). En este periodo no se conciben las operaciones reversibles. Está caracterizado por la necesidad de manipular objetos reales para lograr el aprendizaje de un cierto concepto, pues el niño se apoya en sus experiencias empíricas para asimilar nociones básicas. Se comienza a comprender la organización del espacio, situando y desplazando los objetos (comprendiendo conceptos como dentro/fuera, encima/debajo, delante/detrás, arriba/abajo). También descubre y compara propiedades físicas de los objetos que manipula: longitud, distancia, cantidad. Comienza a contar cantidades pequeñas de objetos y a entender el concepto de cardinal; contrasta cantidades de magnitudes por comparación y estima, a partir de una cantidad, la longitud, volumen y peso. Es capaz de ordenar sucesos en el tiempo (saber lo que ocurrió antes y lo que vendrá después). Trabaja con una sola cantidad y resuelve problemas de cambio sencillos (operaciones aditivas).
• Período de las operaciones concretas (7-11 años). Aparece la comprensión de operaciones reversibles aritméticas, pero solo sobre lo material o que el niño pueda observar. Comienza la adquisición de principios de conservación de cantidad, peso y volumen. El niño compara y cuantifica magnitudes y formas en geometría; llega a comprender el sistema de numeración decimal y representa datos sencillos gráficamente. Agrupa los objetos en función de propiedades aditivas o multiplicativas; ordena elementos en función de una cualidad que varía (por peso, por color…) Comprende conceptos espaciales, como el espacio que ocupan los objetos y su desplazamiento, propiedades (topológicas, proyectivas, euclidianas, métricas…) y operaciones temporales y cinéticas como el orden de sucesión de los objetos en el espacio. Los objetos materiales son un referente importante y todavía tiene dificultad para concebir una operación de forma abstracta ((Batanero 2013)).
• Período de operaciones formales (11-15 años). Según los autores, es el último paso del desarrollo intelectual y de adquisición de las habilidades cognitivas y sociales. Se pueden manipular relaciones entre representaciones simbólicas, se formulan hipótesis y se establecen conclusiones. Se comprende el significado de abstracciones sin referirse a objetos particulares (por ejemplo, el número dos sin concretarlo en algún tipo de objeto). Piaget e Inhelder indican que en esta etapa aparecen una serie de nuevos esquemas operatorios, entre ellos la comprensión de la probabilidad ((Piaget and Inhelder 1951)).

Los autores concluyen que: “Sólo en el estadio que comienza alrededor de los once-doce años se comprenden las probabilidades, la combinatoria y nociones, tales como las de fluctuación o correlación y proporción” ((Piaget and Inhelder 1951, 144)). En este periodo los niños logran asimilar lo aleatorio, comprendiendo que, “si los casos individuales permanecen imprevisibles, los conjuntos de casos dan lugar a una previsibilidad: la noción de probabilidad se construye entonces poco a poco, en tanto que es relación entre los casos favorables y los casos posibles” ((Piaget and Inhelder 1951, 115)).
La comprensión de las operaciones sobre lo posible o potencial permite el pensamiento hipotético-deductivo. El azar se descubre gradualmente y se comprende la idea de probabilidad. Estos autores también determinan el carácter tardío de la comprensión de la Ley de los grandes números, concluyendo que “los adolescentes no aceptan prever una convergencia de las distribuciones sino hasta cierto límite (hasta lo que podría llamarse ‘pequeños grandes números’)” ((Piaget and Inhelder 1951, 144)).

La caracterización de las intuiciones por Fischbein

Como una crítica a las etapas establecidas por Piaget e Inhelder surgen los trabajos de Fischbein, quien se interesa por el conocimiento intuitivo de los niños y no sólo por el formal; además, investiga el efecto que la enseñanza tiene sobre la comprensión de la probabilidad. A continuación, se analizan las características que Fischbein concede a las intuiciones y seguidamente sus principales aportaciones en el terreno de la probabilidad.
(Fischbein 1975) considera la intuición como parte de la conducta inteligente, que interviene en las acciones prácticas y en el razonamiento. Define el conocimiento intuitivo como “una clase de conocimiento que no está basado en la evidencia empírica o en argumentos lógicos rigurosos” ((Fischbein 1975, 26)), y que, a pesar de ello, se tiende a aceptar como cierto y evidente y que tiene las siguientes características:

• Certeza intrínseca: Las intuiciones se aceptan como ciertas por el sujeto. Por ejemplo, si en una caja se tienen diez bolas blancas y se realiza el experimento de sacar una bola al azar, el sujeto no dudará en indicar que la bola será blanca (suceso seguro).
• Auto-evidencia: Además, son auto-explicables. El sujeto no necesita una justificación de su intuición, sino que la acepta porque ha funcionado bien en su experiencia y porque no contradice su conocimiento anterior.
• Perseverancia: Las intuiciones son muy resistentes al cambio y pueden estar presentes a lo largo de toda nuestra vida. Un ejemplo de intuición incorrecta es la falacia del jugador, en que se supone que si en un juego de azar aparece una racha larga de un mismo resultado (por ejemplo, cara al lanzar una moneda) es más probable que en la siguiente partida se obtenga el suceso contrario. Fischbein estudió esta creencia y la denominó efecto de “recencia negativa”, debido a que sucede cuando la persona considera más probable el suceso contrario al que ya ha ocurrido ((Fischbein 1975)).
• Coercitividad: Llevan a la acción, a veces con consecuencias indeseadas. En el ejemplo de la falacia del jugador, se han descrito casos de jugadores que, a pesar de una racha de perdidas, continúan jugando al suceso que piensan que tiene más probabilidad y pierden una gran cantidad de dinero.
• Categoría teórica: Una intuición es, para el que la posee, una teoría, por lo que reconoce su generalidad, es decir, se capta la universalidad de un principio o relación a través de un caso particular. Por ejemplo, en la afirmación “al lanzar una moneda al aire cada cara tiene la misma posibilidad de salir”, la regularidad de la moneda hace pensar en una equiprobabilidad, y se intuye la universalidad de la propiedad a cualquier moneda.
• Capacidad extrapolatoria: Una intuición excede la información disponible. Un ejemplo es el salto intuitivo en el razonamiento cuando se trata con procesos infinitos, por ejemplo la Ley de los grandes números. La forma dinámica del infinito no presenta dificultad aparente para el sujeto, que está naturalmente capacitado para concebir la continuación infinita de la repetición del experimento aleatorio. Este infinito “dinámico” se concibe, directamente, debido al carácter extrapolable de la intuición.
• Globalidad: La intuición es global y sintética, y por tanto opuesta al pensamiento analítico, que descompone un razonamiento en partes. Por ello ofrece una visión unitaria de una cierta situación.
• Carácter implícito: Algunas veces el sujeto no es consciente de las intuiciones, ya que las reacciones intuitivas son parte de la estructura superficial de la cognición y surgen de lo profundo de los mecanismos y procesos mentales.

Fischbein diferencia entre intuiciones primarias y secundarias ((Fischbein 1987)). Las intuiciones primarias se adquieren directamente con la experiencia, sin necesidad de instrucción sistemática; por el contrario, las intuiciones secundarias se forman como consecuencia de la educación, principalmente en la escuela. Como se indica en ((Batanero 2013)), una intuición secundaria no es una simple idea aceptada o utilizada automáticamente, sino que se transforma en convicción. No se forma a partir de la lectura o de una explicación teórica, sino de una información que el sujeto utiliza en sus propias acciones a lo largo de su vida. Por ejemplo, una intuición primaria correcta sería la equiprobabilidad de las caras en una moneda, y la intuición secundaria errónea sería que al lanzar una moneda una serie de veces y haber obtenido siempre cara, se piense que en el próximo lanzamiento es más probable obtener una cruz.

Diferencia de conclusiones en las investigaciones de Piaget e Inhelder y de Fischbein sobre probabilidad

Fischbein realizó una contribución importante en el estudio del razonamiento probabilístico del niño, apoyado en su teoría sobre las intuiciones ((Fischbein 1975)). Investiga en niños de diferentes edades la intuición del azar, su capacidad de estimar probabilidades y el razonamiento combinatorio, así como el efecto de la instrucción sobre cada uno de estos temas, obteniendo en algunos casos conclusiones diferentes a las de (Piaget and Inhelder 1951).
Piaget e Inhelder conciben la comprensión del azar como complementaria a una relación de causa-efecto y que depende de la capacidad combinatoria; por ello, concluyen que esta comprensión no es posible hasta la etapa de las operaciones formales ((Piaget and Inhelder 1951)). Fischbein, por el contrario, afirma que se puede distinguir el fenómeno aleatorio del determinista hacia los 7 años, pues se percibe el azar como equivalente a la impredecibilidad, y se genera en un individuo antes de una enseñanza formal del tema ((Fischbein 1975)). Pero el autor también sostiene que la distinción entre fenómenos impredecibles y situaciones deducibles y controlables no es automática, y tampoco se interioriza completamente al nivel de las operaciones formales en todos los individuos. Al contrario, en ((Fischbein, Pampu, and Minzat 1967)) se encontraron ejemplos de adolescentes que tienden a buscar dependencias causales que reduzcan la incertidumbre en situaciones aleatorias. Su explicación es que la escuela orienta al niño a una interpretación deductiva de los fenómenos, promoviendo la búsqueda de relaciones de tipo causal.
Piaget e Inhelder consideran que el niño de preescolar es incapaz de estimar correctamente las posibilidades a favor y en contra de los sucesos aleatorios, puesto que no ha adquirido razonamiento proporcional ((Piaget and Inhelder 1951)). Sin embargo, (Fischbein 1975) indica que el niño de esta edad puede hacer juicios probabilísticos en tareas sencillas que no requieran el uso de fracciones. Esta capacidad va mejorando con la edad, por lo que el logro de los adolescentes, estimando posibilidades a favor y en contra de un resultado, es superior al de los niños pequeños. Fischbein añade que los niños de 9 a 10 años son capaces de resolver problemas sencillos con ayuda de la instrucción.
Finalmente, respecto al razonamiento combinatorio, Piaget e Inhelder indican que los niños de preescolar solo pueden enumerar algunas combinaciones o variaciones usando ensayo-error y repitiendo elementos en casos muy sencillos. Fishbein defiende que es posible enseñar técnicas de enumeración al niño con ayuda de la instrucción y el recurso del diagrama en árbol. Mientras que Piaget e Inhelder suponen que el razonamiento combinatorio se desarrolla espontáneamente en la adolescencia, Fischbein indica que para ello es necesaria la instrucción ((Piaget and Inhelder 1951; Fischbein 1975)).
Estos resultados muestran algunas diferencias con las investigaciones de (Piaget and Inhelder 1951) y (Fischbein 1975), que se resumen en el Tabla 1.

Etapas de desarrollo en la comparación de probabilidades

Uno de los objetivos del estudio de la capacidad de los niños para comparar probabilidades ha sido determinar lo que son capaces de realizar en las diferentes etapas de desarrollo, para lo cual se han propuesto diferentes modelos teóricos que se resumen a continuación.

Etapas de desarrollo según Piaget e Inhelder

Para analizar el razonamiento de los niños en la comparación de probabilidades, Piaget e Inhelder utilizaron fichas de color blanco, algunas con una cruz en su reverso ((Piaget and Inhelder 1951)). Dividieron las fichas en dos grupos con composiciones distintas de \((a,b)\), donde \(a\) representaría el número de fichas con una cruz en una de sus caras (casos favorables) y \(b\) el número de fichas sin cruz (casos desfavorables). La tarea propuesta a los niños era decidir en cuál de dos agrupaciones (cuya composición se mostraba inicialmente a los niños) sería más fácil obtener una cruz, al tomar una de las fichas de cada agrupación con los ojos cerrados.
Se planteó a los niños tareas de diferente dificultad teniendo en cuenta la composición \((a_1, b_1)\) y \((a_2, b_2)\) de los dos grupos de fichas que debían comparar:

• Doble imposibilidad: cuando ninguno de los dos grupos tiene cruces, \(a_1 = a_2 = 0\).
• Doble certeza: todas las fichas tienen cruces, \(b_1 = b_2 = 0\).
• Certeza-imposibilidad: cuando \(a_1 = b_2 = 0\) o cuando \(b_1 = a_2 = 0\). Es decir, en un grupo es seguro obtener una cruz y en el otro imposible.
• Posibilidad-certeza o Posibilidad-imposibilidad: cuando en uno de los casos es seguro (o imposible) obtener cruz, mientras en el otro grupo es posible.
• Composiciones idénticas en las dos urnas: \(a_1 = a_2\) y \(b_1 = b_2\). Por tanto, se trata de equiprobabilidad.
• Proporcionalidad de las composiciones: \(a_1 = k \cdot a_2\) y \(b_1 = k \cdot b_2\), con \(k \in N\). Sigue habiendo equiprobabilidad, pero es menos evidente y requiere un inicio de razonamiento proporcional por parte de los niños.
• Desigualdad de casos favorables e igualdad de posibles: \(a_1 \neq a_2\) y \(a_1+ b_1 = a_2+ b_2\).
• Igualdad de casos favorables y desigualdad de posibles: \(a_1 = a_2\) y \(b_1 \neq b_2\).
• Desigualdad tanto de casos favorables como de posibles: \(a_1 \neq a_2\) y \(a_1+ b_1 \neq a_2+ b_2\).

Analizaremos las conclusiones obtenidas para las etapas I (pre-operacional), II (operaciones concretas) y III (operaciones formales), que los autores dividen en varias subetapas.
El estadio I se caracteriza porque sólo se opera con una de las variables en cada agrupación a comparar. Piaget e Inhelder concluyeron que en el estadio IA los niños dan una respuesta aleatoria al problema ((Piaget and Inhelder 1951)). Sin embargo, a pesar de la ausencia de capacidad de comparación lógico-aritmética, pueden encontrar la respuesta correcta en composiciones como \((0,2)\) y \((0,3)\); \((0,3)\) y \((2,0)\); \((0,3)\) y \((1,3)\); o bien \((3,0)\) y \((2,0)\), donde al menos una de las agrupaciones presenta imposibilidad o certeza. Además, el niño solo considera los casos favorables, sin tomar en cuenta el total de casos posibles. En el estadio IB se resuelven situaciones de comparación de probabilidades que dependen de una sola variable (consideran solo dos de los cuatro datos implicados), pero sus valoraciones siguen siendo intuitivas. De forma progresiva, desarrollan la comprensión de que el número de casos favorables está asociado con la probabilidad. Algunas veces, el sujeto razona a partir del término constante en las dos colecciones, por ejemplo \((2,3)\) y \((1,3)\) y no considera la otra variable, lo que en ocasiones le conduce a errores sistemáticos.
La etapa II se caracteriza por el uso de los cuatro términos, pero en forma aditiva, sin tomar en cuenta las proporciones. En el estadio IIA los conceptos de fracción y proporción aún no están presentes. Sin embargo, el niño es capaz de comprender las primeras operaciones lógico-aritméticas, y esto le ayuda a tener un mayor éxito en problemas de una variable, realizando comparaciones aditivas, pero falla en los problemas que requieren comparar dos cocientes. Ya en el estadio IIB, el niño resuelve problemas sencillos de proporcionalidad de forma empírica (comparaciones aditivas entre los casos favorables y desfavorables, es decir, elige el grupo con mayor diferencia entre casos favorables y desfavorables), aunque estas estrategias no son válidas en problemas más complejos.
Finalmente, Piaget e Inhelder establecen que hasta alcanzar el tercer estadio, de operaciones formales (III), el niño no construye las nociones probabilísticas fundamentales, ni logra incluir las partes en el todo ((Piaget and Inhelder 1951)). Esto le permite cuantificar probabilidades mediante un conjunto de relaciones multiplicativas (cálculo de fracciones o correspondencia de número de casos favorables y desfavorables en los dos grupos).

Etapas de desarrollo según Fischbein

Por otro lado, Fischbein también propuso un nuevo modelo de etapas de desarrollo de razonamiento probabilístico ((Fischbein 1975)) que tiene en cuenta la intuición del azar, la comparación de probabilidades, operaciones combinatorias y el efecto de la instrucción, y que se resume en el Tabla 2, tomado de (Jones and Thornton 2005, 73).

Las principales diferencias entre los dos modelos es que Fischbein considera el efecto de la instrucción a partir de los 7-8 años, pues Piaget suponía que el niño de estas edades no tenía capacidad para concebir el azar y la probabilidad. Fischbein, por el contrario, realizó experimentos de enseñanza con materiales concretos y mostró que esta posibilidad existe y el niño es capaz de aprender con una instrucción sistemática.
En varios experimentos Fischbein continúa sus estudios sobre la intuición probabilística. En (Fischbein, Pampu, and Minzat 1967) se utilizan representaciones gráficas de canales por los cuales se deja caer una bola, preguntando a los niños en cual de varios posibles puntos de salida habrá mayor posibilidad de que caiga la bola. Encuentran peores resultados en los niños de 10-12 años que en los de menor edad, pues buscan explicaciones de tipo mecánico y principios físicos para asignar probabilidades.

Investigaciones posteriores

Otros autores continuaron las investigaciones de Piaget e Inhelder para analizar el desarrollo del niño y determinar la forma en que el concepto de probabilidad se adquiere progresivamente de acuerdo a su avance cognitivo. (Yost, Siegel, and Andrews 1962) se interesaron por la existencia de razonamiento probabilístico en niños de preescolar, cambiando ligeramente el método experimental de Piaget, pues les dieron urnas transparentes con fichas de dos colores en diferente composición. Sugieren que a partir de los 4 años los niños tienen intuiciones sobre la probabilidad y esta intuición mejora con la edad. (Goldberg 1966) repite la investigación anterior y muestra que los niños tienen más dificultad cuando el número de casos favorables en las dos urnas es igual y el número de casos desfavorables es diferente, que en el caso contrario. (Davies 1965) repite el estudio de Yost y colaboradores (Yost, Siegel, and Andrews 1962) con niños de 3 a 9 años, confirmando que hay un progreso en el razonamiento con la edad.
Uno de los principales estudios fue el de (Green 1982), quien pasó un cuestionario a una gran muestra (alrededor de 3000 niños ingleses entre 11 y 16 años) donde se replica en versión papel y lápiz algunos experimentos de Piaget. Su finalidad fue determinar la etapa de desarrollo en la teoría de Piaget e Inhelder (que el autor denomina nivel de razonamiento probabilístico) de los sujetos de su muestra. Los contextos son variados, usando tanto comparación de probabilidades en urnas o ruletas, como estimación de la probabilidad en experimentos compuestos o decidir si un juego es o no equitativo. Encuentra un mayor nivel medio en los niños, frente a las niñas, y correlación entre el nivel de razonamiento probabilístico con una medida de la aptitud en matemáticas. También observa que son pocos los estudiantes del último curso de su muestra (15-16 años) que logran el nivel III, de operaciones formales, descrito por (Piaget and Inhelder 1951).
La investigación de Green fue replicada por (Cañizares 1997) con 251 niños españoles de 11 a 14 años. Obtuvo, en general, mejores resultados que (Green 1982), ya que los niños españoles de 13 y 14 años se sitúan, en promedio, a un nivel cercano al estadio II, mientras que en la investigación de Green apenas superan el primer nivel descrito por Piaget e Inhelder a esta edad. Sin embargo, por ser la muestra mucho más pequeña que la de los niños ingleses, Cañizares no quiso hacer generalizaciones.
Los dos autores ((Green 1982) y (Cañizares 1997)) notan una mejora con la edad tanto en el nivel de razonamiento como en la mayor parte de las intuiciones de los alumnos; sin embargo, encuentran algunas dificultades. Entre las intuiciones correctas de los niños, en (Cañizares 1997) se destaca la impredecibilidad en los experimentos aleatorios, la capacidad de comparación de probabilidades en casos sencillos, y resolución de algunos problemas de probabilidad condicional. Sin embargo, también se encontró que el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos y la interpretación de diagramas en árbol resultaron excesivamente difíciles para los estudiantes de la muestra en (Cañizares 1997). Además, la autora sugiere que el nivel de razonamiento probabilístico no explica todas las posibles respuestas y estrategias de los estudiantes en los problemas de probabilidad.
Una investigación reciente es la de (Gong and He 2017), con 906 estudiantes chinos de 6 a 14 años de edad. Los autores aplicaron un cuestionario con tareas relacionadas con las siguientes nociones: aleatoriedad, distribución de probabilidad, comparación cualitativa de la probabilidad, representaciones numéricas de la probabilidad y representaciones mediante fracciones. Los autores proponen un modelo con cinco etapas de desarrollo del razonamiento probabilístico de los niños. En la etapa I (6-7 años) los estudiantes comprenden la noción aleatoriedad y adquieren conocimientos preliminares de la distribución, comparación de probabilidades y representaciones numéricas de la probabilidad. En la segunda etapa (8-9 años) se desarrollan rápidamente conceptos de probabilidad y su representación numérica. En la tercera etapa (10 años) los estudiantes comprenden bien la aleatoriedad; y en la cuarta (11-12 años) dominan también la comparación de probabilidades. Por último, en la fase final (13-14 años) los estudiantes no mejoran su razonamiento probabilístico e incluso algunos pueden experimentar un retroceso. Los autores no encontraron una diferencia significativa en el nivel cognitivo entre los estudiantes de 13-14 y 10-11 años en lo que respecta a las tareas propuestas. Por tanto, el razonamiento probabilístico de los niños de 11-14 años estuvo aproximadamente en el mismo nivel.

Razonamiento proporcional y estrategias en la comparación de probabilidades

Una preocupación de las investigaciones sobre el razonamiento probabilístico de los niños ha sido analizar si existe alguna diferencia con el razonamiento proporcional o, por el contrario, una vez adquirido este, los niños automáticamente pueden resolver con éxito los problemas de comparación de probabilidades. Por otro lado, también ha habido un interés en determinar el modo en que los niños resuelven estos problemas y los factores que afectan en la dificultad de las tareas.

Comparación de probabilidades y razonamiento proporcional

Una de las primeras investigaciones centradas en la relación entre razonamiento proporcional y probabilístico fue la desarrollada por (Hoemann and Ross 1982). Estos autores trabajaron con niños de 4 a 10 años, tratando de mostrar que el niño no intuye que la probabilidad viene dada por una fracción, sino simplemente elige la situación con mayor número de casos favorables. Para ello, utilizaron ruletas con sectores de dos colores diferentes y distinta amplitud, preguntando a los niños cuál ruleta da mayor posibilidad y también cuál tiene más cantidad de un color dado. No encontraron diferencias en las respuestas a las dos preguntas y concluyen que no es necesario comparar proporciones para tener una intuición de la probabilidad. (Hoemann and Ross 1982) proponen que los experimentos con urnas (dos urnas y bolas de colores diferentes) pueden ser efectivos para diferenciar los razonamientos de tipo probabilístico y proporcional si se pregunta a los niños cuál de las dos urnas tiene mayor posibilidad de obtener una bola de determinado color. También observaron que el razonamiento probabilístico de los niños mejora con la edad; sin embargo, señalan que este solo se da completamente en la etapa de operaciones concretas.
Por otro lado, (Falk, Falk, and Levin 1980) realizan una investigación con niños de 4 a 11 años a los que piden comparar probabilidades en contextos de bolas en urnas, ruletas y peonzas. Además, dividieron los problemas en tres tipos, según las razones de casos favorables y posibles implicadas, en la forma siguiente: a) una proporción es mayor y otra menor que \(1/2\); b) una proporción es igual a \(1/2\) y la otra diferente; c) las dos proporciones son o mayores o menores que \(1/2\). Sus resultados muestran que, a partir de los 6 años, los niños manifiestan un razonamiento de tipo probabilístico, siendo el error dominante en los niños pequeños elegir el conjunto con mayor número de casos favorables. Los autores concluyeron que la capacidad de calcular proporciones, por sí sola, no implica necesariamente la comprensión de la probabilidad. Por el contrario, el niño primero debe interiorizar que en la situación planteada tiene influencia del azar, para luego aplicar los cálculos de proporciones; es decir, el azar y la proporción son dos nociones necesarias para comprender el significado de probabilidad.
Un trabajo que ha tenido una influencia especial en la investigación posterior es el de (Noelting 1980a, 1980b), aunque el autor estaba simplemente interesado en el razonamiento proporcional. El autor plantea un problema que consiste en la mezcla de cantidades de agua \(a\) y de jugo de naranja \(b\), preguntando a los niños en cuál de dos mezclas \((a_1\) y \(b_1)\) y \((a_2\) y \(b_2)\) el sabor de naranja es más perceptible. En su trabajo, Noelting amplía las categorías de problemas de comparación de fracciones consideradas por Piaget e Inhelder para comparación de probabilidades ((Piaget and Inhelder 1951)), estableciendo más subniveles para las etapas piagetianas y estimando aproximadamente la edad promedio en que se alcanzan. En el Tabla 3 se resumen algunas de las características encontradas en su estudio, de acuerdo a la etapa de crecimiento.

Estos resultados fueron posteriormente corroborados en otras investigaciones como (Karplus, Pulos, and Stages 1983b) y (Karplus, Pulos, and Stages 1983a), donde se describen dos tipos básicos de estrategias en la comparación de fracciones: aditivas (comparar la diferencia de numeradores o denominadores, o bien la diferencia entre numerador y denominador de cada fracción) y proporcionales, donde se comparan algunas de las razones involucradas en el problema.
Fischbein y Gazit organizaron un curso de probabilidad para niños de 10 a 14 años utilizando materiales, como ruletas, urnas y dados ((Fischbein and Gazit 1984)). A lo largo de 12 sesiones les enseñaron las ideas de suceso seguro, posible e imposible, probabilidad y frecuencia relativa. Evaluaron el aprendizaje mediante cuestionarios, concluyendo que las nociones fueron demasiado difíciles para los niños de 10 años y sin embargo resultaron de dificultad moderada a los 12 años y sencillas en edades posteriores. El razonamiento proporcional de los niños no mejoró con la enseñanza de la probabilidad, de lo que deducen que son esquemas cognitivos diferenciados.
Por su parte, (Pérez-Echeverría, Carretero, and Pozo 1986) diseñaron dos pruebas que fueron aplicadas a 20 estudiantes de 12 años y 20 de 17-18 años, todos ellos escolarizados en centros estatales de Madrid. Adaptaron la prueba de (Noelting 1980a, 1980b) y las tareas de comparación de probabilidades diseñadas por (Piaget and Inhelder 1951), y encontraron cuatro niveles de dificultad para problemas de probabilidad, de acuerdo a la estrategia de resolución necesaria:

• Nivel 1: problemas donde la cantidad de casos favorables o la cantidad de casos desfavorables es la misma.
• Nivel 2: problemas donde existe proporcionalidad entre los casos favorables y desfavorables de ambas agrupaciones o entre casos favorables y desfavorables de cada agrupación (relación de equivalencia).
• Nivel 3: problemas que presentan proporcionalidad solo entre los casos favorables, o solo entre los casos desfavorables de ambas agrupaciones, o bien entre los casos favorables y desfavorables de una sola agrupación (no hay relación de equivalencia).
• Nivel 4: problemas donde no existe relación alguna de proporcionalidad entre los cuatro miembros.

Cañizares y Batanero trataron de comprobar si hay coincidencia entre el nivel de razonamiento proporcional y el éxito en tareas probabilísticas de un nivel proporcional dado ((Cañizares and Batanero 1997)). Para ello propusieron una serie de tareas de comparación de probabilidades en urnas a una muestra de 134 niños españoles de 10 a 14 años, variando las fracciones implicadas y teniendo en cuenta diferentes etapas de desarrollo según (Noelting 1980a, 1980b). En algunos de los ítems incluyeron como distractor sesgos comunes en los niños como, por ejemplo, que si juegan dos niños al mismo juego, el de mayor edad o el primero que juega tiene mayor probabilidad de ganar. Aunque encontraron relación entre los dos tipos de razonamiento, encontraron mayor dificultad en los ítems enmarcados en contexto probabilístico que incluían estos distractores y una tendencia a enfocarse en los casos favorables.

Estrategias de comparación de probabilidades

En los apartados anteriores se hace una síntesis de las investigaciones que describen las estrategias de los niños para comparar probabilidades a distintas edades, algunas de las cuales se pueden relacionar con las utilizadas en la comparación de fracciones. Particularmente, (Noelting 1980a, 1980b) señala dos tipos de estrategias generales en la comparación de fracciones que podrían emplearse en el caso de la probabilidad. El autor denominó estrategia “intro” a la comparación de los términos de cada fracción entre sí y luego de las razones establecidas; y la estrategia “entre”, a la comparación de las razones entre los dos numeradores y los dos denominadores.
Piaget e Inhelder asumieron que los niños primero tratan de comparar los casos posibles, es decir, el número total de posibilidades en cada situación a comparar y, a igualdad de casos posibles, centran su atención en la comparación de los casos favorables ((Piaget and Inhelder 1951)). Sin embargo, Cañizares y Batanero observaron que los niños de su estudio prefirieron comparar los casos favorables y no los posibles ((Cañizares and Batanero 1997)). La explicación que dan las autoras es que las tareas propuestas por Piaget e Inhelder (un solo conjunto de fichas marcadas o no en su revés) favorecen la percepción del niño del conjunto de fichas empleadas como un todo, y no como la unión de dos partes (casos favorables y desfavorables), que fue más claro en las tareas propuestas por las autoras (dos urnas, cada una con fichas de dos colores).
De acuerdo a Piaget e Inhelder, las estrategias de una sola variable, es decir, aquellas en que los niños sólo usan los casos favorables o desfavorables, son representativas de la etapa preoperacional ((Piaget and Inhelder 1951)). Estas estrategias pueden generar tanto respuestas correctas como repuestas incorrectas; específicamente, generan respuestas correctas siempre y cuando haya igualdad en el número de casos favorables o igualdad en el número de casos desfavorables; en caso contrario, se obtienen respuestas incorrectas.
En el caso de las estrategias de dos variables, los niños usan los cuatro datos del problema (casos favorables y desfavorables en cada una de las dos colecciones) y se distinguen tres tipos: la primera consiste en comparar los cuatro datos con operaciones aditivas (por ejemplo, restando los casos favorables y desfavorables en cada grupo), y es característica del período de operaciones concretas. En las estrategias segunda y tercera se realizan comparaciones multiplicativas y se aplican hacia la etapa de operaciones formales. Sin embargo, la segunda, que consiste en establecer una razón sencilla (como 1/3) para comparar con la razón de casos favorables y desfavorables en cada conjunto, puede utilizarse en los casos de composiciones proporcionales durante la etapa anterior. (Pérez-Echeverría, Carretero, and Pozo 1986) obtuvieron cuatro tipos de estrategias utilizadas por los sujetos:

1. Comparar valores absolutos.
2. Comparación aditiva de las dos agrupaciones. Se busca la solución comparando los miembros de cada agrupación por medio de sumas y restas.
3. Estrategia de correspondencia. Consiste en establecer un criterio de proporcionalidad en una agrupación (por ejemplo, que haya doble de casos favorables que desfavorables), y compararlo con la otra (si la relación es menor o mayor que el doble).
4. Comparación multiplicativa entre los datos de cada agrupación (casos favorables y desfavorables en cada grupo).

Green utiliza diversas tareas de comparación de probabilidades en su cuestionario de intuiciones probabilísticas, variando el nivel de razonamiento proporcional requerido para resolver cada una de las tareas, y pide a los niños justificar la respuesta ((Green 1982)). Utiliza dos contextos: comparación de probabilidades en dos urnas con bolas de dos colores diferentes y ruletas numeradas con diferente número de sectores de igual amplitud o diferente amplitud. En el análisis de los argumentos que utilizan los niños, este investigador identifica las estrategias que aparecen en el Tabla 4.

En los problemas de comparación de ruletas Green introdujo algunos distractores, como diferente orden de colocación de los sectores favorables en las mismas, o que una ruleta con mayor número de sectores favorables tuviese menor área correspondiente al caso favorable. De este modo, en el contexto de ruletas aparecieron mayor número de estrategias incorrectas como considerar la distancia entre sectores favorables, su orden de colocación o la posición inicial de la aguja.
(Maury 1984) investigó las estrategias utilizadas por 80 estudiantes de 15-16 años en problemas de comparación de probabilidades, utilizando también dos tipos de contextos: sacos con bolas de dos colores (azules y rojas) y ruletas divididas en sectores iguales coloreados en rojo y azul. Basándose en las investigaciones de Piaget e Inhelder, la autora establece tres tipos de tareas para estos contextos:

• Tareas de comparación de una sola variable: el número de casos favorables es el mismo en ambos sacos y difiere sólo el número de casos posibles.
• Proporcionalidad: la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles es la misma en ambos sacos.
• Comparación de dos variables: hay un número diferente de casos favorables y posibles en ambos sacos (sin que haya proporcionalidad o igualdad de casos desfavorables).

Asimismo, clasificó las respuestas obtenidas considerando la pertinencia de los argumentos. Entre los argumentos pertinentes están: comparación de áreas (solo para contexto ruletas), comparación entre proporciones de casos favorables y casos posibles (regla de Laplace) y comparación entre proporciones de casos favorables y casos desfavorables. La autora indica que la regla de Laplace es más utilizada en contextos de ruletas porque favorece la relación parte-todo, a diferencia del contexto “sacos con bolas” donde es más intuitivo las relaciones parte-parte.
Por otro lado, la autora encontró como argumentos no pertinentes la distribución de sectores (solo para contexto ruletas), la comparación de la diferencia entre casos favorables y desfavorables o al revés, y la comparación de casos favorables sin tener en cuenta los desfavorables o los posibles. La autora señala que en el caso de los argumentos no pertinentes, el contexto sí influye, siendo la distribución de sectores el más frecuente en el contexto de ruletas, y la comparación de la diferencia entre casos favorables y desfavorables en el contexto de “sacos con bolas”.
(Cañizares 1997) repitió en su estudio los mismos ítems utilizados por (Green 1982) y analizó los argumentos proporcionados por los niños para justificar sus respuestas identificando sus estrategias. Las estrategias observadas para el contexto de ruletas coinciden con las de Green, mientras que propuso una clasificación diferente para las estrategias empleadas en el contexto de urnas que se muestra en el Tabla 5.

Sesgos de razonamiento y creencias previas

Como se ha observado en la descripción realizada, el razonamiento probabilístico de los niños no se reduce al razonamiento proporcional, aunque se requiere de éste para poder resolver muchos de los problemas. Sin embargo, en las estrategias descritas por (Cañizares 1997) se observa que algunos niños poseen intuiciones incorrectas que asumen como verdaderas y que pueden generar errores sistemáticos. Así, por ejemplo, algunos niños mostraron ideas subjetivas relativas al azar que les llevan a indicar que no pueden elegir una de las urnas que se les pide comparar. Su argumento es que es imposible saber cuál es el suceso que ocurrirá. Esta es una respuesta típica del enfoque en el resultado o outcome approach (Konold 1989); pues, aunque el resultado particular de un experimento aleatorio es impredecible, sí es posible prever la distribución de una serie de resultados del experimento. Pero el niño interpreta una pregunta probabilística (?‘cuál suceso tiene más probabilidad?) en forma determinista (?‘cuál suceso ocurrirá?).
Cañizares también encontró algunos niños que suponen que todos los sucesos aleatorios son equiprobables por naturaleza, generalizando indebidamente la regla de Laplace ((Cañizares 1997)), cuando realmente un experimento puede ser aleatorio y constar de sucesos no equiprobables. Sería un ejemplo del denominado “sesgo de equiprobabilidad”, identificado por (Lecoutre 1992). Cañizares atribuye la confusión a que en su experiencia los niños suelen jugar a juegos de azar como cartas, loterías o dados, donde todos los sucesos son equiprobables.
Otros sesgos o creencias infundadas citadas por la autora son la incapacidad para reconocer la independencia de los resultados en una serie de experimentos repetidos (creencia errónea conocida como la “falacia del jugador”, la “falacia de Montecarlo” o efecto de “recencia negativa” ((Fischbein 1975)). Cañizares encontró que la tercera parte de los niños de su muestra mantuvieron alguno de estos sesgos en sus argumentos ((Cañizares 1997)).
Algunos estudios, como los de (Fischbein and Gazit 1984), exploraron factores que podían afectar los juicios probabilísticos en niños y adolescentes. Un ejemplo es la influencia de supersticiones como “empezar con el pie derecho”, planteando un ítem con la relación entre “entrar a clase cada día poniendo primero el pie derecho” y el “aumento de la posibilidad de obtener buena nota”, y así poder conocer si los niños buscaban justificaciones asociadas a creencias populares. Cañizares señala que solo un pequeño porcentaje de alumnos manifestaron creencias de este tipo, y que éstas disminuían con la edad y el rendimiento matemático ((Cañizares 1997)). También señala argumentos asociados a consideraciones físicas como la disposición de las bolas en una imagen ((Cañizares 1997)).
Un sesgo muy frecuente es la heurística de representatividad ((Kahneman et al. 1982)), que consiste en juzgar la representatividad de una muestra sólo por su parecido a la población que representa. Cañizares encontró gran incidencia de este sesgo en las decisiones de los alumnos, que les lleva a creencias incorrectas sobre la independencia de sucesos ((Cañizares 1997)).

Implicaciones para la enseñanza de la probabilidad

El conjunto de investigaciones analizadas señala que la intuición en probabilidad, y más concretamente la capacidad de comparar probabilidades, progresa por etapas. Estas etapas tienen una fuerte relación con las correspondientes al desarrollo del razonamiento proporcional, pero no son equivalentes; es decir, ni el razonamiento proporcional es una condición suficiente, ni es estrictamente necesaria en todos los casos. Por ello, los niños pequeños pueden comparar probabilidades en problemas de una variable, es decir, cuando el número de casos favorables o de desfavorables son iguales. En este sentido, las investigaciones apoyan que la enseñanza de la probabilidad se comience lo antes posible, para poder desarrollar correctamente la intuición del niño, pues según Fischbein, la maduración con la edad por sí sola no es suficiente para este desarrollo y necesita de instrucción ((Fischbein 1975)).

Es verdad que los niños de la mayoría de los estudios analizados, como (Piaget and Inhelder 1951), (Green 1982) o (Cañizares 1997), no habían estudiado probabilidad porque no se incluía este tema en el currículo de la Educación Primaria. Pero, en todo caso, en (Cañizares 1997) se observó una dificultad generalizada en los problemas de comparación de probabilidades, señalando que los alumnos no aplicaban espontáneamente la regla de Laplace para comparar probabilidades, ni siquiera aquellos alumnos que, de acuerdo con lo estudiado en cursos anteriores, debieran tener facilidad en la comparación de las fracciones. Por lo general, los estudiantes asignaban mayor probabilidad basándose sólo en los casos favorables.
En consecuencia, el estudio de fracciones por sí solo no logrará que el niño progrese hacia la etapa más avanzada de su razonamiento probabilístico. Por ello, el maestro debe aprovechar la ocasión que le proporciona el currículo e introducir situaciones probabilísticas en la clase de matemática. Solo la enseñanza de la probabilidad introduce una forma de pensar diferente a otras ramas de las matemáticas y contribuye a superar las intuiciones erróneas primitivas sobre la aleatoriedad ((Borovcnik 2011)). Más aún, cuando no sólo es posible relacionar estas situaciones con muchos de los juegos de los niños, sino que también se pueden encontrar numerosas aplicaciones de la probabilidad en la vida cotidiana, lo que permite mostrar al niño el valor y la utilidad de las matemáticas ((Batanero 2020)).
Sería también interesante desarrollar en los niños las cinco intuiciones necesarias para la comprensión de la probabilidad: magnitud relativa (del conjunto de casos favorables respecto a los posibles), relación parte-todo, incertidumbre e indeterminación del resultado, mayor o menor verosimilitud de un suceso y distribución esperada de los resultados del experimento aleatorio ((Metz 1998)).
Por otro lado, como se muestra en varios de los estudios, el contexto influye fuertemente en las estrategias y problemas equivalentes desde el punto de vista probabilístico, aunque no lo son necesariamente en el plano cognitivo. Por esta razón, es necesario que en la enseñanza se proponga a los niños problemas presentados en diferentes contextos, como se indica en (Maury 1984) y (Cañizares 1997).

Agradecimientos

Esta publicación es parte del proyecto de I+D+i PID2019-105601GB-I00 financiado por MCIN/AEI/10.13039/501100011033.

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