Resumen de Algunos resultados de regularidad y unicidad para un problema shallow-water bicapas

María Luz Muñoz Ruiz , Carlos Parés Madroñal

• El problema que dió origen a nuestro estudio es el modelado de la dinámica de las masas de agua en el Mar de Alborán y el Estrecho de Gibraltar (la parte más occidental del Mar Mediterráneo). En este mar se pueden distinguir dos capas de agua: la superior, de agua atlántica penetrando en el Mediterráneo a través del Estrecho de Gibraltar y la inferior, de agua mediterránea, más densa, saliendo al Atlántico. La observación de este simple esquema nos muestra que, si queremos utilizar un modelo bidimensional para simular el flujo en esta región, hemos de considerar, al menos, un modelo bicapas. Proponemos un modelo que considera el agua del mar compuesta por dos capas de agua de distinta densidad, que no se mezclan. En dicho modelo, aparecen ondas no sólo en la superficie, sino también en la interfaz entre las capas. Se asume que los fenómenos a modelar tienen longitudes de onda suficientemente grandes como para que la aproximación de shallow-water en cada capa sea apropiada. Por tanto, el sistema de ecuaciones en derivadas parciales a estudiar es un sistema acoplado de ecuaciones shallow-water. En un trabajo anterior establecimos un teorema de existencia para datos pequeños y en esta ocasión presentamos algunos resultados de regularidad y unicidad, adaptando las técnicas usadas para estudiar el caso de una sola capa. La principal dificultad en la demostración de existencia de soluciones era la necesidad de obtener estimaciones a priori para la altura de cada capa, estimaciones que se obtenían en el caso de una sola capa una vez probada la existencia de solución. La dificultad añadida en el caso bicapas para probar los resultados de regularidad que presentamos es la necesidad de acotar los nuevos términos no lineales. Dichos resultados nos permiten obtener un teorema de unicidad.