Einstein ideal and reducible l-adic representations unramified outside a finite number of primes

• Autores: Miriam Ciavarella
• Localización: Bollettino dell unione matematica italiana. Sezione B: articoli di ricerca matematica, ISSN 0392-4041, Vol. 9, Nº 3, 2006, págs. 711-722
• Idioma: inglés
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• Resumen
  • italiano

    L 'argomento di questo articolo é lo studio di particolari rappresentazioni A-adiche bidimensionali di Gal(Q/Q); fissati pi, ooo,Pn primi distinti, conside- reremo rappresentazioni p : G GL2(A), date dalla matrice p = (ac db) che sono non ramificate fuori pi, ...,pn,00 e dalla caratteristica residua di .2, che sono prodotto di m rappresentazioni su estensioni finite dell'anello dei vettori di Witt del campo residuo e che sono riducibili modulo A. In analogia con la leona delle rappresentazioni modulari, introdurremo l'analogo dell'algebra di Hecke di Mazur T, con un ideale I di T che chiameremo ideale di Eisenstein.

    Seguendo la strategia di Ribet e Papier [3], sotto le ipotesi:

    · pi # 1 mod per ogni i = 1, n, · la semisemplificazione di p- é descritta da due caratteri a, fi che sono distinti se ristretti a Z> , otterremo i seguenti risultati:

    PROPOSIZIONE 0.1 - L'ideale di Eisenstein 1 é uguale a BC, dove B i il T -sottomodulo di A generato da tutti i b(g) con g a G e analogamente C é definito usando i c(g). Inoltre, 1 é l'deale di T generato dalle quantitá a(h) - 1 per h E Gal(K/Qab n K).

    PROPOSIZIONE 0.2 - Supponiamo che la congettura di Vandiver sia vera per £ e che I sia non-zero. Aflora, a meno di sostituire p con un coniugato, la rappresentazione p assume valori in GL2(T) e la sua matrice dei coefficienti soddisfa:

    a # 9, d c O (modl) dove 9 ..--7.-amodMew.u..fimodM, per M = T n (A).

    In particolare esiste uno e uno solo omomorfismo di anelli suriettivo dall'anello di deformazione universale 10) in T, che induce l'isomorfismo identitá sui campi residui.

  • English

    The object of this note is to study certain 2-dimensional 1-adic re- presentations of Gal(Q/Q); fixed pi, ..,Pn distinct primes, we will consider re? presentations p : GL2(A), given by the matrix p = (ac db) which are unramified outside pi, ...,pn, 00 and the residue of m representations over finite extensions of the ring of Witt vectors of the residue field and which are reducible modulo A. In analogy with the theory of the modular representations, we will introduce the analogue of Mazur's Hecke algebra T, together with an ideal 1 of T which we will call the Eisenstein ideal.

    Following the Ribet and Papier's method [3], under the hypotheses:

    · pi # 1 mod for any i = 1 · the semisimplification ofp is described by two characters a, fi which are distinct if restricted to Z> , we obtain the following results:

    PROPOSITION 0.3 - The Eisenstein ideal I is equal to BC, where B is the T-submodule of A generated by all b(g) with g E G and similary C is defined using the c(g)'s. Moreover, I is the ideal of T generated by the quantities a(h) - 1 for h E Gal(K/Qab n K).

    PROPOSITION 0.4 - Suppose that Vandiver's conjecture is true for .e and that I is nonzero. Then, ayer replacement of p by a conjugate, the representation p takes values in GL2(T) and its matrix coefficients satisfy:

    a d y, c O (mod I) where y u a mod M and s u fi mod M, for M = T n (2).

    In particular there is one and only one surjective ring hom,omorphism from the universal deformation ring n(p) to T, inducing the identity isomorphism on residue fields.

    characteristic ofÁ, which are a product